ВПнМ/Теормин

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Содержание

1 Моделирование и абстракция
2 Логика LTL, автоматы Бюхи
3 Верификация программ на моделях
4 Система Spin и язык Promela

[править] Моделирование и абстракция

[править] Моделирование программ. Понятие состояния. Потенциальные и достижимые состояния. Требования к модели. Процесс построения модели.

Схема верификации на моделях (Лекция 2, слайд 3)

Состояние программы - совокупность значений объектов данных и счётчика управления, связанных с некоторой моделью программы.

Модель - упрощённое описание реальности, выполненное с определенной целью.

с каждым объектом может быть связано несколько моделей
каждая модель отражает свой аспект реальности

Аспекты модели:

простота - модель должна быть проще, чем реальность
корректность - не расходиться с реальностью
адекватность - соответствовать решаемой задаче

Построение модели

формализация требований (постановка задачи моделирования)
выбор языка моделирования
абстракция системы до модели с учётом требований

Построение модели в строгом смысле (Лекция 2, слайд 38)

Состояние называется достижимым, если существует вычисление программы, в котором оно присутствует

[править] Моделирование программ. Размеченные системы переходов. Детерминизм и недетерминизм. Вычисления и трассы. Свойства линейного времени. Выполнимость свойства на трассе.

Лекция 2, Слайды 39-50

[править] Размеченная система переходов (LTS)

$TS = \langle S, Act, \overset{a}{\rightarrow} ,s_0, AP, L \rangle$

S - множество состояний
Act - множество действий
$τ$ - невидимое действие
$\overset{a}{\rightarrow} \subseteq S \times Act \times S$ - тотальное отношение переходов. Тотальность означает, что из каждого состояния ведёт какое-то действие.
$s_0 \in S$ - начальное состояние, либо $I$ - множество начальных состояний
AP - множество атомарных высказываний
$L:S \rightarrow 2^{AP}$ - функция разметки

S, Act - конечные или счётные множества

$\langle s, a, s' \rangle \in \overset{a}{\rightarrow} \equiv s \overset{a}{\rightarrow} s'$

Пример LTS: Лекция 2, слайды 40-41

Прямые потомки

$Post(s, a) = \{s' \in S, s \overset{a}{\rightarrow} s'\}$ - такие состояния s', которые непосредственно вытекают из s через переход a
$Post(s) = \bigcup_{a \in Act} Post(s, a)$ - все возможные состояния s', которые непосредственно вытекают из s

Система $TS = \langle S, Act, \overset{a}{\rightarrow} ,I, AP, L \rangle$ детерминирована:

по действиям тогда и только тогда, когда
- $|I| \leqslant 1$
- $\forall s \in S, \forall a \in Act \Rightarrow |Post(s, a)| \leqslant 1$ (количество потомков не больше одного)
по атомарным высказываниям
- $|I| \leqslant 1$
- $\forall s \in S, \forall A \in 2^{AP} ~ \Rightarrow ~ |Post(s) \cap \{s' \in S, L(s') = A\}| \leqslant 1$ (количество одинаково размеченных потомков не больше одного)

Недетерминизм - это фича! Полезен для:

моделирования параллельного выполнения в режиме чередования (интерливинга)
- позволяет не указывать скорость выполнения процессов
моделирования прототипа системы
- не ограничивает реализацию заданным порядком выполнения операторов
построения абстракции реальной системы
- модель может быть построена по неполной информации

[править] Вычисления

Конечный фрагмент вычисления $σ$ системы переходов TS - это конечная последовательность чередующихся состояний и действий, заканчивающаяся состоянием: $\sigma = s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots a_n s_n, \forall i \in [0,n) \Rightarrow s_i \overset{a_{i+1}}{\rightarrow} s_{i+1}$
Бесконечный (максимальный) фрагмент вычисления $ρ$ - $\rho = s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots, \forall i \geqslant 0 \Rightarrow s_i \overset{a_{i+1}}{\rightarrow} s_{i+1}$
Начальный фрагмент вычисления - фрагмент вычисления, для которого $s_0 \in I$
Вычисление - начальный максимальный фрагмент вычисления (описывает последовательность состояний и действий)

Достижимое состояние (из начального) в системе переходов TS - такое состояние $s \in S$ , для которого существует конечный фрагмент вычисления $s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots a_n s_n = s$

Reach(TS) - множество всех достижимых состояний в TS

Трасса $tr = L(s_0) L(s_1) \dots \in (2^{AP})^\omega$ ; $~\omega$ означает, что трасса может быть бесконечной

[править] Свойства линейного времени

Свойство $\varphi$ определяет набор допустимых трасс: $\varphi \subseteq (2^{AP})^\omega$
Система переходов TS удовлетворяет свойству линейного времени $\varphi$ , если: $TS \models \varphi ~~ \Leftrightarrow ~~ Traces(TS) \subseteq \varphi$
по определению программа удовлетворяет свойству φ, если её система переходов удовлетворяет этому свойству: $P \models \varphi ~~ \equiv ~~ TS(P) \models \varphi$ -

[править] Моделирование программ. Графы программ. Статическая и операционная семантика.

Граф программы – формальное описание текста программы.

$D p$ -- единый абстрактный домен данных.
P -- программа.
- $V p$ -- множество переменных программы(Var).
- $dom(v) = D_p^v \subseteq D_p$ -- каждая переменная принадлежит какому-либо домену
$n$ -- подстановка. $n: V_p \rightarrow D_p, \forall v \in Var$ $n(v) \in D_p^v$
-- Набор булевых условий над V_p
- формулы пропозициональной логики ( $p1 \or p2$ )
- условия на переменные вида $x \in X$ (p1: 3<=y<18, p2: f=4)
$~ Eval(Var)$ -- множество значений переменных. Собственно, это и есть подстановка.
Эффект операторов: $Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)$

Граф программы:

$PG= \langle Loc , Act , Effect ,\rightarrow, Loc_0, g_0 \rangle$

-- множество точек
- $Loc_0 \in Loc$ -- множество начальных точек
$~ Act$ -- множество действий
$\rightarrow \subseteq Loc \times (Cond(V_p) \times Act) \times Loc$ -- отношение перехода ( $C o n d (V p)$ -- это фактически страж оператора )
$~ Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)$ -- функция эффекта
$g_0 \in Cond(V_p)$ -- начальное условие

Получение TS из PG: раскрутка графа

Состояние в TS -- это точка программы и текущая подстановка
Начальное состояние -- исходная точка, удовлетворяющая начальному условию
Атомарные высказывания в TS:
- находимся в точке программы l
- значение переменной x принадлежит некоторому множеству и это множество является подмножеством множеств значений этой переменной.
Состояния $\langle l,n \rangle$ размечаются высказыванием о том, что мы находимся в точке программы $~ l$ и всеми высказываниями, истинными в $~ n$
Если в графе программы есть дуга из $~ l$ в $~ l'$ со стражем $~ g$ и действием $~ a$ и в некоторой подстановке $~n$ выполняется страж $~ g$ , то в системе переходов, которая соответствует этой программе будет присутствовать дуга из состояния $\langle l,n\rangle$ в состояние $\langle l', Effect(a,n)\rangle$ по действию $~ a$ .

Системы переходов графов программ Операционная семантика -- строгое описание того как из графа программы получить ее систему переходов. Описывается это все при помощи правил вывода. TS(PG) -- система переходов графа программы $PG= \langle Loc , Act , Effect ,\rightarrow, Loc_0, g_0 \rangle$ задается сигнатурой $\langle S, Act, \rightarrow, I, AP, L \rangle$

$S = Loc \times Eval(V_p)$ (декартово произведение точек программы на всевозможные подстановки)
$\rightarrow : S \times Act \times S$ с соответствующим правилом вывода $\frac{l \overset{g:a}{\rightarrow} l' \and (n \models g) }{\langle l,n \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle l',Effect(a,n) \rangle }$

Множество начальных состояний системы переходов описывается как множество состояний, в которых точка программы принадлежит начальным точкам, а на подстановках выполняется начальное условие графа программы:
- $I=\{\langle l , n \rangle : l \in Loc_0 , n \models g_0 \}$
Множество атомарных высказываний -- это объединение множества точек программы и всевозможных булевых высказываний над переменными программы:
- $AP=Loc \cup Cond(V_P)$
Состояния вида размечаются высказываниям о точке программы, в которой мы находимся и всеми высказываниями из множества всевозможных высказываний, которые верны в этой подстановке:
- $L(\langle l , n \rangle)= \{l\} \cup \{g \in Cond(V_P): n \models g \}.$

Пример: Лекция 4, слайд 16

Статическая и операционная семантика

Cтатическая семантика – набор ограничений, которым должна удовлетворять структура программы; Операционная семантика – понятие состояния программы и изменение состояния в ходе работы программы; то, как по графу строится LTS. (См. Л.5, сл. 15, 2010 )

[править] Параллелизм. Чередование систем переходов.

Лекция 4, слайды 21-24

Действия независимых процессов чередуются.
Порядок выполнения процессов не известен.

Чередование:

эффект от параллельного выполнения независимых действий a и b равен эффекту от их последовательного выполнения в произвольном порядке:
- - ||| -- оператор чередования
  - ; -- оператор последовательного выполнения
  - + -- оператор недетерминированного выбора

Пример: Лекция 4, слайд 23

Чередование систем переходов

Пусть $TS_i = \langle S_i, Act_i, \rightarrow_i, AP_i, I_i, L_i \rangle ~~,~~ i \in \{1,2\}$

Тогда чередование этих систем $TS_1 ~|||~ TS_2= \langle S_1 \times S_2, Act_1 \cup Act_2, \rightarrow, AP_1 \cup AP_2, I_1 \times I_2, L \rangle$ , где

$L(s_1, s_2)= L_1(s_1) \cup L_2(s_2)$
оператор определяется как
- $\frac{s_1 \rightarrow_1 s_1^'}{(s_1, s_2) \rightarrow (s_1^', s_2)}$
- $\frac{s_2 \rightarrow_2 s_2^'}{(s_1, s_2) \rightarrow (s_1, s_2^')}$

[править] Параллелизм. Чередование графов программ. Случаи без разделяемых переменных и с разделяемыми переменными.

Лекция 4, слайды 25—28

Для графов программ $P G 1$ (над $V 1$ ) и $P G 2$ (над $V 2$ ) без разделяемых переменных (т. е. $V_1 \cap V_2 = \varnothing$ ):

формула $TS(PG_1)~|||~TS(PG_2)$ достоверно описывает параллельную композицию $P G 1$ и $P G 2$
в случае с разделяемыми переменными это не так (см. лекцию 4, слайд 26).

Пусть

$PG_i = \langle Loc_i, Act_i, Effect_i, \rightarrow_i, Loc_{0,i}, g_{0,i} \rangle,~i \in \{1, 2\}.$

Граф $PG_1~|||~PG_2$ над $V_1 \cup V_2$ определяется так:

$PG_1~|||~PG_2 = \langle Loc_1 \times Loc_2, Act_1 \cup Act_2, Effect, \rightarrow, Loc_{0,1} \times Loc_{0,2}, g_{0,1} \land g_{0,2} \rangle,$

где отношение перехода $\rightarrow$ определяется следующими правилами вывода:

$l_1 \overset{g:\alpha}{\rightarrow}_1 l'_1 \over \langle l_1, l_2 \rangle \overset{g:\alpha}{\rightarrow} \langle l'_1, l_2 \rangle$ и $l_2 \overset{g:\alpha}{\rightarrow}_2 l'_2 \over \langle l_1, l_2 \rangle \overset{g:\alpha}{\rightarrow} \langle l_1, l'_2 \rangle,$

а $Effect(\alpha,~\eta) = Effect_i(\alpha,~\eta),$ если $\alpha \in Act_i.$

Пример: лекция 4, слайд 28. В указанном примере $TS(PG_1)~|||~TS(PG_2) \neq TS(PG_1~|||~PG_2)$

[править] Параллелизм. Синхронный параллелизм. Рандеву.

распределённые программы выполняются параллельно
в распределённой программе нет разделяемых переменных

Передача сообщений в распределённых программах:

cинхронная передача сообщений (рандеву)
асинхронная передача сообщений (каналы)

Синхронный обмен сообщениями:

Процессы вместе выполняют синхронизированные действия
Взаимодействие процессов - одновременно

Рандеву

$TS_i = \langle S_i, Act_i, \overset{a}{\rightarrow}_i ,I_i, AP_i, L_i \rangle ~~~ i=\{1,2\}$
-- набор синхронизированных действий.
- действия из H должны быть синхронизированны
- действия не из H независимы и могут чередоваться

Тогда $TS_1 ||_H TS_2= \langle S_1 \times S_2, Act_1 \cup Act_2, \rightarrow, I_1 \times I_2, AP_1 \cup AP_2, L \rangle$ , где

$L(\langle s_1, s_2 \rangle) = L_1(s_1) \cup L_2(s_2)$
определяется как:
- интерливинг для $\alpha \not\in H~:~~~ \frac{s_1 \overset{a}{\rightarrow}_1 s_1'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle s_1', s_2 \rangle}$ и $\frac{s_2 \overset{a}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle s_1, s_2' \rangle}$
- рандеву для $\alpha \in H~:~~~ \frac{s_1 \overset{a}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{a}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle s_1', s_2' \rangle}$

Пример рандеву: Лекция 4, слайд 32

Синхронный параллелизм

$TS_i = \langle S_i, Act_i, \overset{a}{\rightarrow}_i ,I_i, AP_i, L_i \rangle ~~~ i=\{1,2\}$
$Act_1 \times Act_2 \rightarrow Act ~~ : ~~ (\alpha, \beta) \rightarrow \alpha * \beta$

Тогда $TS_1 \times TS_2 = \langle S_1 \times S_2, Act, \rightarrow, I_1 \times I_2, AP_1 \cup AP_2, L \rangle$ , где

$L(\langle s_1, s_2 \rangle) = L_1(s_1) \cup L_2(s_2)$
$\rightarrow$ определяется как: $\frac{s_1 \overset{\alpha}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{\beta}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{\alpha * \beta}{\rightarrow} \langle s_1', s_2' \rangle}$

[править] Параллелизм. Асинхронный параллелизм. Системы с каналами. Операционная семантика.

Лекция 4. Слайды 36-39, 43-46

$c \in Chan$ -- Процессы взаимодействуют с помощью каналов, представляющих собой FIFO буфера
$d o m (c)$ -- Каналы типизированы по передаваемым сообщениям
$c a p (c)$ -- ёмкость канала. если $c a p (c) = 0$ , то взаимодействие сводится к рандеву
действия по обмену сообщениями:
- $c! v$ -- запись $v$ в конец канала $c$ . Выполняется только если буфер не полон ( $< c a p (c)$ )
- $c ? x$ -- чтение в $x$ из начала канала $c$ . Выполняется только если буфер не пуст ( $> c a p (c)$ )
- формально $Comm = \{c!v, c?x ~ | ~ c \in Chan, v \in dom(c), x \in V_p, dom(c) \subseteq dom(x)\}$

Системы с каналами.

Граф программы $P G$ над $(V a r, C h a n)$ задаётся $PG = \langle Loc, Act, Effect, \rightarrow, Log_0, g_0 \rangle$ , где $\rightarrow \subseteq Loc \times (Cond(Var) \times Act) \times Loc ~ \cup ~ Loc \times Comm \times Loc$
Система с каналами $C S$ над $\left(\cup_{1 \leqslant i \leqslant n} PG_i, Chan\right)$ задаётся как $CS = \left[PG_1 | PG_2 | \dots | PG_n\right]$ , где $P G i$ — граф программы над $(V a r i, C h a n)$

При асинхронной передаче сообщений (при $c a p (c) > 0$ ):

процесс $P i$ может выполнить $l_i \overset{c!v}{\rightarrow} l'_i$ , только если в $c$ хранится меньше $c a p (c)$ сообщений;
процесс $P j$ может выполнить $l_j \overset{c?x}{\rightarrow} l'_j$ , только если $c$ не пуст, после чего первый элемент $v$ извлекается из $c$ и присваивается $x$ (атомарно).

Оценка $ξ$ значения канала $c$ — это отображение канала на последовательность значений $\xi: Chan \rightarrow dom(c)^*$ , такое что длина последовательности не превосходит ёмкости канала $len(\xi(c)) \leq cap(c)$ , и при этом $\xi(c)=v_1 v_2 \dots v_k$ означает, что $v 1$ — верхнее сообщение в буфере.

$\xi[c = v_1 v_2 \dots v_k](c') = \left\{ \begin{array}{cc} \xi(c'), & c \neq c' \\ v_1 v_2 \dots v_k, & c = c' \\ \end{array} \right.$ Кто понимает смысл этой хренотени, опишите, плз. Overrider 18:28, 22 мая 2009 (UTC)

Исходная оценка $\xi_0(c) = \epsilon, \forall c \in Chan$

Операционная семантика: лекция 4, слайды 44—46

[править] операционная семантика

Пусть $CS = \left[PG_1 | PG_2 | \dots | PG_n\right]$ – система с каналами над $(C h a n, V a r)$ , и

$PG = \langle Loc, Act, Effect, \rightarrow, Log_0, g_0 \rangle$

Система переходов $T S (C S)$ описывается сигнатурой

$TS(CS) = \langle S, Act, \rightarrow, I , AP, L \rangle$ , где

$S = ( Loc_1 \times \dots \times Loc_n ) \times Eval(Var) \times Eval(Chan)$

$Act = ( \cup_{0 \leqslant i \leqslant n} Act_i ) ~ \cup ~ \tau$

$I = \{ \langle l_1, \dots, l_n, \eta, \xi \rangle | \forall i ( l_i \in Loc_{0i} \and \eta \models g_0 ) \and \forall c ( \xi_0(c) = \epsilon ) \}$

$AP = ( \cup_{0 \leqslant i \leqslant n} Loc_i ) \cup Cond(Var)$

$L( \langle l_1, \dots, l_n, \eta, \xi \rangle ) = \{ l_1, \dots, l_n \} \cup \{ g \in Cond( Var ) | \eta \models g \}$

Правила вывода

интерливинг для $\alpha \in Act_i$

$\frac {l_i \overset{g:\alpha}{\rightarrow} l_i' \and n \models g } { \langle l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi \rangle \overset{\alpha}{\rightarrow} \langle l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta', \xi \rangle }$
Синхронная передача сообщений через $c \in Chan, cap(c) = 0$

$\frac { l_i \overset{c?x}{\rightarrow} l_i' \and l_j \overset{c!v}{\rightarrow} l_j' \and i \neq j } { \langle l_1, \dots , l_i, \dots, l_j, \dots , l_n , \eta, \xi \rangle \overset{\alpha}{\rightarrow} \langle l_1, \dots, l_i', \dots, l_j', \dots , l_n , \eta', \xi \rangle }$
Асинхронная передача сообщений через $c \in Chan, cap(c) \neq 0$
- получить значение по каналу c и присвоить переменной x:
  
  $\frac { l_i \overset{c?x}{\rightarrow} l_i' \and len(\xi(c))=k>0) \and \xi(c)=v_1 \dots vk } { \langle l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi \rangle \overset{c?x}{\rightarrow} \langle l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta', \xi' \rangle }$ ,
  
  где $\eta' = \eta[x=v_1], \xi'=\xi[c=v_2 \dots v_k ]$
- передать значение $v \in dom(c)$ по каналу c:
  
  $\frac { l_i \overset{c!v}{\rightarrow} l_i' \and len(\xi(c))=k<cap(c)) \and \xi(c)=v_1 \dots vk } { \langle l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi \rangle \overset{c!v}{\rightarrow} \langle l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta, \xi' \rangle }$ ,
  
  где $\xi'=\xi[c=v_1 \dots v_k v ]$

[править] Абстракция. Абстракция трасс. Абстракция системы переходов. Необходимое и достаточное условие корректности LTS модели.

Представим трассу в форме интерпретации I: $I(tr) = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi\rangle$

$\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел
$\leqslant$ - отношение порядка на $\mathbb{N}$
$\xi: \mathbb{N} \times AP \rightarrow \{true, false\}, ~~ \forall n>0, p \in AP ~~ \Rightarrow ~~ \xi(n, p) = true \Leftrightarrow p \in L(s)$ (для каждого порядкового номера говорит истенен или ложен заданный на нем предикат)

Рассмотрим трассы tr и tr' такие, что

$I(tr) = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi\rangle, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP = \{true, false\}$
$I(tr') = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi'\rangle, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP' = \{true, false\}$

Будем говорить, что трасса tr' является абстракцией трассы tr ( $tr \prec tr'$ ), если

$AP' \subseteq AP$
такое, что
- $α$ - неубывающая функция: $\forall n,k \in \mathbb{N}, n \leqslant k ~~ \Rightarrow ~~ \alpha(n) \leqslant \alpha(k)$
- $\forall n \in \mathbb{N}, p \in AP' ~~ \Rightarrow ~~ \xi(n, p) = \xi'(\alpha(n), p)$

Пример абстракции трассы: Лекция 2, слайд 53

Определение. Пусть P – система, φ – произвольное свойство линейного времени. Корректной моделью P называется такая М, что: $M \models \phi \Rightarrow P \models \phi$ . (позволяет проверять свойства программы на её модели )

Необходимое и достаточное условие корректности модели: Модель $M$ системы $P$ корректна тогда и только тогда, когда $\forall tr \in Traces(TS(P)) ~ \exists tr' \in Traces(TS(M)) ~ : ~ tr \prec tr'$ . (для проверки такого условия нужно рассмотреть все трассы исходной системы, допускает, что в модели больше состояний )

[править] Абстракция. Абстракция системы переходов. Достаточное условие корректности LTS модели. Адекватность LTS модели.

Абстракция системы переходов -- картинка на 4 слайде 3-й лекции.

Достаточное условие корректности LTS модели.

Пусть у нас имеются две системы переходов, $T S 1$ и $T S 2$ -- для системы и модели соответственно:

$TS^i = \langle S^i, Act^i, \rightarrow_i, I^i, AP^i, L^i \rangle$

Достаточное условие корректности:

Алфавит предикатов модели включен в алафвит предикатов системы: $AP^2 \sube AP^1$
Задано отображение . На отображение накладываются следующие условия:
- Оно преобразует начальное состояние системы в начальное состояние модели: $s^2_0 = a(s^1_0)$
- Каждому переходу из системы должен соответствовать переход в модели: $s^1_1 \rightarrow_1 s^1_2 ~ \Rightarrow ~ a(s^1_1) \rightarrow_2 a(s^1_2)$
Метки на состояниях модели должны состоять только из предикатов модели: $\forall s \in S^1: L^2(a(s)) = L^1(s) \cap 2^{AP^2}$

Модель называется адекватной, если:

Атомарные высказывания, в терминах которых задаются свойства, присутствуют в разметке модели. (Необходимое условие)
Из нарушения свойства на модели следует, что оно нарушается и на исходной системе. (Достаточное условие)

Необходимое условие адекватности модели свойствам правильности: алфавит предикатов свойств правильности включен в алфавит предикатов модели — $AP_\phi \subseteq AP_M$ . Условие не является достаточным (см. примеры, лекция 3, слайды 4—5).

[править] Абстракция. Абстракция графов программ. Отношение слабой симуляции.

Лекция 10, слайды 8 - 11

Программа PG' корректно моделирует программу PG тогда и только тогда, когда система переходов TS(PG') корректно моделирует систему переходов TS(PG).

Будем говорить, что PG' моделирует PG, если

в PG' присутствуют переменные, соответствующие наблюдаемым переменным PG
все действия PG, влияющие на наблюдаемые переменные, отражены в модели (наблюдаемые операторы)
модель корректно воспроизводит возможные последовательности изменения значений наблюдаемых переменных, присутствующих в PG

Отношение слабой симуляции не сохраняет количество шагов между состояниями. В связи с этим, не сохраняются свойства, не инвариантные к прореживанию (LTL: оператор neXt).

[править] Логика LTL, автоматы Бюхи

[править] Свойства правильности. Формулирование требований правильности программы. Двойственность. Типы свойств.

Лекция 5, слайды 2-14.

Требования правильности — утверждения о возможных и невозможных вариантах выполнения программы.

Двойственность :

если какое-то утверждение невозможно, то обратное — неизбежно
если какое-то утверждение неизбежно, то обратное — невозможно
при помощи логики от одного можно переходить к другому при помощи отрицания

Способы описания свойств правильности:

свойства достижимых состояний (свойства безопасности)
свойства последовательности состояний (свойства живучести)
в Promela:
- свойства состояний
  - asserts:
    - локальные ассерты процессов
    - инварианты системы процессов
  - метки терминальных состояний
    - задаём допустимые точки останова прочесса
- свойства последовательностей состояний
  - метки прогресса — чтобы найти циклы бездействия
  - утверждения о невозможности (never claims) — например, LTL формулы
  - трассовые ассерты — используются для описания правильных последовательностей выполнения операторов отправки и приема сообщения

[править] Свойства правильности. Свойства безопасности и живучести. Проверка таких свойств. Примеры свойств.

Типы свойств:

свойства безопасности
- ничего плохого никогда не произойдет
- пример: инвариант системы (например, x всегда меньше y);
- задача верификатора -- найти те вычисления, которые ведут к нарушению безопасности.
свойства живучести
- рано или поздно произойдет что-то хорошее
- пример: “отзывчивость” (например, если отправлен запрос, то рано или поздно будет сгенерирован ответ)
- задача верификатора – найти вычисления, в которых это “хорошее” может откладываться до бесконечности.

ps. автор терминов – Лесли Лампорт; см. Лекция 5, слайд 4.

[править] Автоматы Бюхи. Конечные автоматы. Проход автомата. Язык автомата.

Лекция 6, слайды 8 - 15

Конечный автомат описывается сигнатурой: $\langle S, s_0, L, F, T\rangle$ , где

S -- множество сотояний
$s_0 \in S$ -- множество начальных состояний
L -- конечное множество меток
$F \subseteq S$ -- множество терминальных состояний
$T \subseteq S \times L \times S$ -- отношение перехода на состояниях

Детерминизм и недетерминизм

Конечный автомат называется детерминированным, если по метке и исходному состоянию можно однозначно определить целевое состояние: $\forall s \in S, \forall l \in L: ((s, l, s_1) \in A.T \and (s, L, s_2) \in A.T ~ \Rightarrow ~ s_1 = s_2)$

В противном случае автомат называется недетерминированным.

Проходом a конечного автомата $\langle S,s_0,L,F,T \rangle$ называется такое упорядоченное и, возможно, бесконечное множеств переходов из T: $a=\langle (s_0, l_0, s_1),(s_1, l_1, s_2), ... \rangle ~~ \forall i, i \geqslant 0;~ (s_i, l_{i}, s_{i+1}) \in T$

Допускающим проходом конечного автомата A называется конечный проход a, финальный переход которого ( $s n - 1, l n - 1, s n)$ ведёт в терминальное состояние.

Языком автомата A называется множество слов в алфавите A.L, соответствующих допускающим проходам автомата А

[править] Автоматы Бюхи. Омега-допускание. Расширение автоматов Бюхи.

Лекция 6, слайды 19-20

Для любого бесконечного прохода $σ$ конечного автомата А можно выделить два последовательных отрезка проходов:

$σ +$ -- конечный отрезок прохода $σ$ , включающий в себя множество состояний, встречающихся конечное число раз
$σ ω$ -- бесконечный хвост прохода $σ$ , включающий в себя множество состояний, встречающихся бесконечное число раз

Допускающий проход по Бюхи ( $ω$ -допускание) конечного автомата A называется такой бесконечный проход, в котором по крайней мере одно терминальное состояние встречается бесконечное число раз: $\exists i \geqslant 0, (s_{i-1}, l_{i-1}, s_i) \in \sigma ~~ : ~~ (s_{i} \in A.F) \and (s_{i} \in \sigma^\omega)$

Расширение автоматов Бюхи.

добавляем алфавит автомата меткой $\varepsilon$
все конечные проходы расширяем до бесконечности меткой $\varepsilon$

Примечание. При помощи автоматов Бюхи удобно проверять свойства живучести.

[править] Логика LTL. Синтаксис LTL. Семантика выполнимости формул. Сильный и слабый until.

Лекция 6, слайды 30 - 35

Особенности LTL:

может использоваться для описания свойств как живучести, так и безопасности
описывает свойства, которым должны удовлетворять линейные последовательности наблюдаемых состояний - трассы
семантика LTL определена на бесконечных автоматах Бюхи. Для конечных проходов необходимо использовать расширение автомата.

Формула в LTL f::=

p, q, ... — свойства состояний, включая true и false
(f) — группировка при помощи скобок
$\alpha ~ f$ — унарные операторы
$f_1 ~ \beta ~ f_2$ — бинарные операторы

Операторы в LTL

унарные
- $\Box$ ([]) — всегда в будущем, т.е. $s_j \models \Box f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \forall j, j \geqslant i: ~ s_j \models f$
- $\Diamond$ (<>) — в конце концов, т.е. $s_j \models \Diamond f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \exists j, j \geqslant i: ~ s_j \models f$
- $X$ (X) — в следующем состоянии, т.е. $s_j \models X f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ i: ~ s_{j+1} \models f$
- $\neg$ (!) — логическое отрицание
бинарные
- $\wedge$ (&&) — логическое И
- $\vee$ (||) — логическое ИЛИ
- $\rightarrow$ (->) — логическая импликация
- $\leftrightarrow$ (<->) — логическая эквивалентность
- $U$ (U) — до тех пор, пока (until)

[править] Выполнимость формул:

Задаётся последовательность состояний прохода $\sigma: s_0, s_1, s_2, \dots$
$\forall i, i \geqslant 0, ~ \forall p$ определена выполнимость $p$ в $s i$
Семантика LTL:
- $\sigma \models f \Leftrightarrow s_0 \models f$
- $s_i \models \Box f \Leftrightarrow \forall j, j \geqslant i: s_j \models f$
- $s_i \models \Diamond f \Leftrightarrow \exists j, j \geqslant i: s_j \models f$
- $s_i \models Xf \Leftrightarrow s_{i+1} \models f$
- Слабый Until:
  - всегда e, до тех пор, пока не f, при этом не факт, что f наступает (тогда всегда e)
  - $s_i \models e W f ~~ \Leftrightarrow ~~ s_i \models f \vee (s_i \models e \wedge s_{i+1} \models e W f)$
- Сильный Until:
  - всегда e, до тех пор, пока не f, при этом f обязательно должно наступить
  - $s_i \models e U f ~~ \Leftrightarrow ~~ \begin{cases} \exists j, j \geqslant i: ~ s_j \models f \\ \forall k, i \leqslant k < j: ~ s_k \models e \end{cases}$

[править] Логика LTL. Основные типы свойств LTL. Цикличность, стабильность, инвариант, гарантия, отклик, приоритет, корреляция.

Лекция 6, Слайды 38-39

Распространенные LTL-формулы
Формула	Описание	Тип
$\Box p$	всегда p	инвариант
$\diamond p$	рано или поздно p	гарантия
$p \rightarrow \diamond q$	если p, то рано или поздно q	отклик
$p \rightarrow q U r$	если p то затем постоянно q до тех пор, пока рано или поздно не наступит r	приоритет
$\Box\diamond p$	всегда рано или позндно будет p	цикличность (прогресс)
$\diamond\Box p$	рано или позндно всегда будет p	стабильность (бездействие)
$\diamond p \rightarrow \diamond q$	если рано или поздно p, то рано или поздно q	корреляция

[править] Логика LTL. Эквивалентные преобразования формул LTL.

Лекция 6, Слайды 40

$\begin{align} \neg\Box p & \Leftrightarrow & \diamond \neg p \\ \neg\diamond p & \Leftrightarrow & \Box \neg p \\ & & \\ \neg(p U q) & \Leftrightarrow & \neg q \cup (\neg p \wedge \neg q) \\ \neg(p \cup q) & \Leftrightarrow & \neg q U (\neg p \wedge \neg q) \\ & & \\ \Box (p \wedge q) & \Leftrightarrow & \Box p \wedge \Box q \\ \diamond (p \vee q) & \Leftrightarrow & \diamond p \vee \diamond q \\ \end{align}$

$\begin{align} p \cup (q \vee r) & \Leftrightarrow & (p \cup q) \vee (p \cup r) \\ (p \wedge q) \cup r & \Leftrightarrow & (p \cup r) \wedge (q \cup r) \\ & & \\ p U (q \vee r) & \Leftrightarrow & (p U q) \vee (p U r) \\ (p U q) \cup r & \Leftrightarrow & (p U r) \wedge (q U r) \\ & & \\ \Box\diamond (p \wedge q) & \Leftrightarrow & \Box\diamond p \wedge \Box\diamond q \\ \diamond\Box (p \vee q) & \Leftrightarrow & \diamond\Box p \vee \diamond\Box q \\ \end{align}$

[править] Логика LTL. Оператор neXt. Свойства, инвариантные к прореживанию.

Лекция 7, слайды 22-25

Оператор $X$ нужно использовать аккуратно:

с его помощью делается утверждение о выполнимости формулы на непосредственных потомках текущего состояния,
в распределённых системах значение оператора $X$ неочевидно,
поскольку алгоритм планирования процессов неизвестен, не стоит формулировать спецификацию в предположении о том,

какое состояние будет следующим,

стоит ограничиться предположением о справедливости планирования.

Свойства, инвариантные к прореживанию

Пусть f – трасса некоторого вычисления над пропозициональными формулами P,
- по трассе можно определить, выполняется ли на ней темпоральная формула,
- трассу можно записать в форме:
  - $f^{n_1}, f^{n_2},f^{n_3}, ...$ -- где значения пропозициональных формул на каждом интервале совпадают.
Обозначим E(f) набор всех трасс, отличающихся лишь значениями n₁,n₂,n₃ (т.е. длиной интервалов).
- E(f) называется расширением прореживания f.

Свойство f, инвариантное к прореживанию, либо истинно для всех трасс из E(ψ), либо ни для одной из них:
- $\psi \models f ~ \Rightarrow ~ \forall v \in E(\psi), v \models f$
истинность такого свойства не зависит от длины трассы, а только от порядка, в котором пропозициональные формулы меняют свои значения;
Теорема: все формулы LTL без оператора $X$ инвариантны к прореживанию.
в рамках LTL без $X$ можно описать все свойства, инвариантные к прореживанию

[править] Логика LTL. Проверка выполнимости формул LTL при помощи автоматов Бюхи. Проверка LTL-формул в Spin.

Лекция 7, слайды 26-40

Связь LTL с автоматами Бюхи

Удобно проверять допустимость трасс для некоторого автомата Бюхи;
Удобно описывать свойства правильности при помощи темпоральных формул;
Для всякой LTL-формулы f существует автомат Бюхи, который допускает те и только те прогоны, которым соответствуют трассы, на которых выполнима f;

Переход от LTL к автоматам

Привести свойство правильности LTL к форме never языка Promela достаточно просто: нужно построить отрицание LTL формулы и поместить его в тело never:
- f выполняется на всех вычислениях <=>
- !f не выполняется ни на одном вычислении <=>
- автомат never {!f} не допускает ни одного прогона, полученного в результате синхронного выполнения с системой

[править] Логика LTL. Выразительная мощность LTL. Логики LTL + существование, CTL* и CTL. Сравнение выразительной мощности.

При помощи конструкции never можно описать любой ω-регулярный автомат над словами

Выразительная мощность LTL

по сравнению с конструкциями never

LTL описывает подмножество этого языка:
- всё, выразимое на LTL, может быть описано при помощи never,
- при помощи never можно описать свойства, не выразимые на LTL
Добавление одного квантора существования над одним пропозициональным символом расширяет выразительные способности LTL до всех омега-регулярных автоматов над словами.

(p) может быть истинным после выполнения системой чётного количества шагов, но никогда не истинно после нечётного.

$\exists$ t(t && [](t -> X!t) && [](!t -> Xt) && [](!t -> !p))

LTL-формула описывает свойство, которое должно выполняться на всех вычислениях, начинающихся из исходного остояния системы

Логика СTL*

Логика ветвящегося времени:
- использует кванторы ∀ и ∃ для обозначения трасс, на которых может выполняться свойство
- использует F вместо <> и G вместо []

Логика СTL

Логика CTL – фрагмент логики CTL*, в котором кванторы могут встречаться только парами, причём в паре должны обязательно находиться один временной и один пространственный кванторы. Например: AG EF(p), A(p U q).

Выразительные возможности CTL* и CTL

CTL* и CTL описывают подмножества w-регулярных автоматов над деревьями
- автоматы над деревьями более выразительны, чем автоматы над словами (CTL-формула выполнима на дереве трасс, а не на одной трассе);
CTL и LTL являются подмножествами CTL*;
CTL и LTL не сравнимы по выразительной мощности (пересекаются, но не включают);
на LTL можно описать свойства, не выразимые на CTL:
- CTL не позволяет описать свойства вида []<>(p),
- при помощи []<>(p) в LTL задаются ограничения справедливости;
на CTL можно описать свойства, не выразимые на LTL:
- на LTL нельзя описать свойства вида AGEF(p),
- AGEF(p) используется для описания свойства reset: из любого состояния

система может перейти в нормальное

[править] Верификация программ на моделях

[править] Задача проверки правильности программ. Валидация. Верификация. Системы с повышенными требованиями к надёжности. Реактивные программы. Параллельные программы. Особенности верификации таких программ.

Валидация - исследование и обоснование того, что спецификация ПО и само ПО через реализованную в нём функциональность удовлетворяет ребованиям пользователей.

Верификация - исследование и обоснование того, что программа соответствует своей спецификации.

Верификация в общем случае алгоритмически неразрешима.

Методы верификации:

"Полное" тестирование (Лекция 1, слайды 14-22)
Имитационное моделирование (вики)
Доказательство теорем (слайды 27-29)
Статический анализ (слайды 30-33)
Верификация на моделях (слайды 34-38)

Типы программ:

Традиционные программы
- завершимость
- спецификация включает в себя описание входа/выхода программы
- число состояний зависит от входных данных и переменных
Реактивные программы
- работают в бесконечном цикле
- взаимодействуют с окружением
- спецификация представляет собой пары стимул/реакция
Параллельные программы
- совместная работа нескольких компонент
- невоспроизводимость тестов
- ограниченные возможности по наблюдению

[править] Подходы к верификации программ. Тестирование и имитационное моделирование. Область применения, плюсы и минусы. Проблема полноты тестового покрытия.

«Тестирование может показать присутствие ошибок, но не может показать их отсутствия» © Дейкстра.

Обоснование полноты тестового покрытия:

метод «чёрного ящика» (ЧЯ) — полное покрытие входных данных,
метод «прозрачного ящика» (ПЯ) — полное покрытие кода программы.

Плюсы применения тестирования:

проверяется та программа, которая будет использоваться,
не требуется знание/использование дополнительных инструментальных средств,
удобная локализация ошибки.

Минусы применения тестирования:

не всегда есть условия для тестирования системы,
проблема с воспроизводимостью тестов (частичное решение — имитационное моделирование).

[править] Проблема полноты тестового покрытия

Чёрный ящик:
- для последовательных программ сложно перебрать все входные данные,
- для параллельных программ — очень сложно,
- для динамических структур данных, взаимодействия с окружением — невозможно.
Прозрачный ящик:
- большой размер покрытия,
- часто невозможно построить 100% покрытие,
- полное покрытие не гарантирует отсутствия ошибок.

Итоги:

Полный перебор входных данных — невозможен.
Полнота покрытия кода не гарантирует правильности.
Ошибка — ошибочное вычисление системы.
Полнота в терминах возможных вычислений — хороший критерий.

[править] Подходы к верификации программ. Доказательство теорем. Область применения, плюсы и минусы.

Основные пункты:

система и её свойста - формулы
задан набор аксиом и правил вывода
строится доказательство свойства-теоремы
таким образом, производится качественный анализ системы

Пример: Лекция 1, слайд 28

Достоинства:

работа с бесконечными пространствами состояний
даёт более глубокое понимание системы

Недостатки

медленная скорость работы
может потребоваться помощь человека (построение инвариантов циклов)
в общем случае нельзя построить полную систему аксиом и правил вывода

[править] Подходы к верификации программ. Статический анализ исходного кода программ. Область применения, плюсы и минусы.

Статистический анализ -- оцениваем для каждого состояния программы потенциально возможные значения переменных.

Пример: Лекция 1, Слайды 31-32

Особенности:

анализ исходного текста без запуска программы
в общем случае задача неразрешима

Достоинства:

высокая скорость работы
если ответ дан - ему можно верить

Недостатки:

узкая область применения: компиляторы, анализ похожести кода, анализ безопасности
ручная настройка при изменении применяемых свойств

[править] Подходы к верификации программ. Верификация программ на моделях. Процесс верификации программы при помощи её модели. Область применения, плюсы и минусы.

Лекция 1, Слайды 34-38 , 45

Особенности:

проверка свойств на конечной модели
исчерпывающий поиск по пространству состояний
свойства задаются в терминах значений предикатов состояний программы или последовательности этих значений

Пример: Лекция 1, слайды 35-36

Процесс верификации программ на моделях:

моделирование
- построение адекватной, корректной модели
- фильтрация "лишних" состояний
спецификация свойств
- темпоральная логика
- полнота свойств
верификация
- построение контр-примера
- анализ контр-примера

Достоинтсва:

хорошая автоматизация
если модель конечна, корректна и адекватна данному свойству, то будет получен точный ответ
выявление редких ошибок

Недостатки:

работает только для конечных моделей

Области применения

сетевые и криптографические протоколы
протоколы работы кэш-памяти
интегральные схемы
стандарты
встроенные системы
драйвера
и прочие программы на C

[править] Верификация на моделях. История развития верификации программ на моделях. Схема верификации программ на моделях. Классы проверяемых свойств правильности программы.

Лекция 1, Слайды 40-44

История развития верификации программ на моделях:

Флойд, 1967 – assertions, гипотеза о доказуемости корректности программы,
Хоар, 1969 – пред- и пост-условия, триплеты Хоара (P | S | Q), логический вывод,
Бойер, Мур, 1971 – первый автоматический прувер,
Дейкстра, 1975 – Guarded Command Languages,
Хоар, 1978 – взаимодействующие последовательные процессы (CSP).
Пнуэли, 1977 – темпоральная логика LTL,
Пнуэли, 1981 – логика ветвящегося времени (CTL),
Кларк, Эмерсон, 1981 и Квили, Сифакис, 1982 – model checking (обход достижимых состояний),
Варди и Вольпер, 1986 – новая техника model checking (анализ конформности),
Хольцман, 1989 – верификатор SPIN.
Бриан, 1989 – Двоичные решающие диаграммы (BDD),
МакМиллан, 1993 – верификатор SMV (символьная верификация, BDD),
Хольцман, Пелед, 1994 – редукция частичных порядков,
1995 – редукция частичных порядков в SPIN.
Кларк, 1992 – абстракция для уменьшения числа состояний модели,
Эльсаиди, 1994 – семантическая минимизация,
Пелед, 1996, Бир, 1998 – верификация модели «на лету»,
Равви, 2000 – анализ достижимости с учётом спецификации,
Эмерсон, Прасад, 1994 -- симметрия

Рост мощности model checking:

1992 год – 1020 состояний,
1994 год – 10120 состояний,
1998 год(?) – 10394 состояний

Лекция 2, Слайды 3-4

[править] Примеры классов свойств:

Стандартные
- Отсутствие ошибок времени выполнения (RTE),
- Отсутствие удушения (starvation),
- Не срабатывают ассерты(assertions).
- deadlocks (взаимная блокировка)
- Race condition (состояние гонки)
Специфичные для конкретного приложения
- требования справедливости
- корректная завершаемость
- причинно-следственный и темпоральный порядок состояний системы
- Инварианты системы,
- Индикаторы прогресса,

[править] Схема верификации на модели

[править] Верификация при помощи Spin. Задание свойств состояний.

Cвойства состояний

asserts
- локальные ассерты процессов
- инварианты системы процессов
  - active proctype invariant() { assert(something)}
метки терминальных состояний
- задаём допустимые точки останова процесса
  - метка end -- система не может завершить работу без того, чтобы все активные процессы либо завершились, либо остановились в точках, помеченных метками end;

[править] Верификация при помощи Spin. Задание свойств последовательностей состояний. Циклы бездействия. Ограничения справедливости.

Свойства последовательностей состояний

метки прогресса (чтобы найти циклы бездействия)
утверждения о невозможности (never claims)
- например, определяются LTL-формулами
трассовые ассерты

Циклы бездействия. Мы хотим найти потенциально бесконечные циклы, не выполняющие никакой полезной работы. Помечаем меткой progress полезные операторы. Если найдется цикл, работающий потенциально бесконечно и не проходящий по метке progress, верификатор выдаст ошибку.

Ограничения справедливости. Существует два основных варианта справедливости:

слабая справедливость:
- если оператор выполним бесконечно долго, то он в конце концов будет выполнен
сильная справедливость:
- если оператор выполним бесконечно часто, то он в конце концов будет выполнен.

Справедливость применима как к внутреннему, так и к внешнему недетерминизму. Использование сильной справедливости – существенно дороже слабой

[править] Верификация при помощи Spin. Задание свойств последовательностей состояний. Утверждения о невозможности. Трассовые ассерты.

never claims (утверждения о невозможности):

выполняются синхронно с моделью
если достигнут конец, то – ошибка
состоят из выражений и конструкция задания потока управления
фактически, описывают распознающий автомат.

Конструкция never

может быть как детерминированной, так и нет;
содержит только выражения без побочных эффектов (соотв. булевым высказываниям на состояниях);
используются для описания неправильного поведения системы;
прерывается при блокировании:
- блокируется => наблюдаемое поведение не соответствует описанному,
- паузы в выполнении тела never должны быть явно заданы как бесконечные циклы;
never нарушается, если:
- достигнута закрывающая скобка,
- завершена конструкция accept (допускающий цикл);
бездействие может быть описано как конструкция never или её часть (для цикла бездействия есть тело never по умолчанию).

Видимость

все конструкции never – глобальны;
тем самым, в них можно ссылаться на
- глобальные переменные,
- каналы сообщений,
- точки описания процессов (метки),
- предопределённые глобальные переменные,
- но не локальные переменные процессов;

Ассерты на трассы Используются для описания выполнения правильных и неправильных последовательностей операторов send и recieve. Ассерт notrace - утверждает, что описанный шаблон поведения невозможен.

[править] Верификация при помощи Spin. Принцип верификации нарушения свойств. Контрпримеры. Процесс верификации при помощи Spin. Использование LTL в Spin.

Свойство выполняется на модели, если оно выполняется на всех трассах.
Свойство нарушается на модели, если нарушается хотя бы на одной из трасс.
Принцип верификации нарушения свойств - проще проверять нарушение свойства, чем выполнение свойства.
- Достаточно найти один контрпример
Нарушение свойства описывается при помощи конструкции never – автомата, распознающего неправильное поведение
- Автоматы Бюхи
Свойства на последовательностях состояний удобно описывать при помощи темпоральной логики
- Логика LTL

Связь LTL с автоматами Бюхи
- При помощи автомата Бюхи удобно проверять допустимость трасс.
- При помощи темпоральных формул удобно описывать свойства правильности.
- Для всякой LTL-формулы f существует автомат Бюхи, который допускает те и только те прогоны, которым соответствуют трассы, на которых выполнима f
Переход от LTL к автоматам
- f выполняется на всех вычислениях <=>
- !f не выполняется ни на одном вычислении <=>
- автомат never {!f} не допускает ни одного прогона, полученного в результате синхронного выполнения с системой

Использование LTL в Spin

SPIN как раз и занимается тем, что преобразует LTL-формулы в автомат Бюхи, описываемый конструкцией never.
Если во время верификации нашлась трасса, принадлежащая языку автомата Бюхи (т.е, конструкция never выполнилась, и мы дошли до её конца), SPIN выдаст контрпример, содержащий эту трассу.

[править] Система Spin и язык Promela

[править] Система Spin. Процесс моделирования и верификации при помощи системы Spin. Конечность моделей на Promela. Асинхронное выполнение моделей. Недетерминированный поток управления. Понятие выполнимости оператора.

Верификация программы на модели

Мы хотим задавать, как система устроена и как она должна быть устроена
Таким образом, нужно две нотации:
- чтобы описать поведение (устройство системы)
- чтобы описать требования (свойства правильности)
Верификатор:
- проверяет, что устройство системы удовлетворяет свойствам правильности
- выбранная нотация гарантирует разрешимость проверки правильности любого свойства любой модели
Все держится на трех китах
- SPIN – Simple Promela Interpreter
  - верификация
  - моделирование
- Promela – Process Meta Language - описание поведения модели
  - недетерминированный язык с охраняемыми командами
  - задача языка – разрешить описывать такие модели, которые могут быть верифицированы
- LTL – Linear Temporal Logic - описание свойств

Конечность моделей на Promela

У моделей – конечное число состояний (потенциально бесконечные элементы моделей в Promela ограничены)
- гарантирует разрешимость верификации
Почему число состояний конечно?
- Число активных процессов конечно (от 0 до 255)
- У каждого процесса – ограниченное количество операторов
- Диапазоны типов данных ограничены
- Размер всех каналов сообщений ограничен

Асинхронное выполнение моделей

нет глобальных часов
по умолчанию синхронизация отсутствует

Недетерминированный поток управления

абстракция от деталей реализации
Два уровня недетерминизма
- внешний (выбор процесса)
  - процессы выполняются параллельно и асинхронно (между двумя последовательными операторами одного процесса может быть сколь угодно длинная пауза)
  - произвольная диспетчеризация процессов
  - выполнение операторов разных процессов происходит в произвольном порядке (основные операторы выполняются атомарно)
внутренний (выбор действия в процессе).
- в теле одного процесса также допускается недетерминированное ветвление

Понятие выполнимости оператора

с любым оператором связаны понятия предусловия и эффекта
оператор выполняется (производя эффект), только если предусловие истинно, в противном случае он заблокирован
- Пример 1: q?m; если канал q не пуст, читаем из него сообщение, иначе ждём
- Пример 2: (x > y) -> y++; процесс будет заблокирован до тех пор, пока x не станет больше y. После этого y увеличится на единицу.

[править] Язык Promela. Основные компоненты модели на языке Promela. Процессы, локальные и глобальные объекты данных, каналы сообщений.

Устройство модели. Существует три типа объектов:

процессы
глобальные и локальные объекты данных
каналы сообщений

Процессы

Поведение процесса задаётся в объявлении типа процесса (proctype)
Экземпляр процесса – инстанциация proctype
Два вида инстанцирования процессов:
- В начальном состоянии системы - префикс active
- В произвольном достижимом состоянии системы - оператор run

Локальные и глобальные объекты данных. Два уровня видимости:

глобальный (данные видны всем активным процессам)
локальный (данные видны только одному процессу)
- есть особенность: локальная переменная, объявленная в теле процесса, видна во всем процессе (нет понятия область видимости переменной внутри процесса)

Каналы сообщений

каналы бывают двух типов:
- буферизованные (асинхронные)
- небуферизованные (синхронные, рандеву)
пример объявления канала: chan x = [10] of {int, short, bit};
- 10 - максимальное число сообщений в канале. 0 определяет канал рандеву.
- {int, short, bit} - структура пересылаемых сообщений

[править] Язык Promela. Механизмы взаимодействия процессов в языке Promela. Глобальные переменные, каналы сообщений, явная синхронизация.

см. предыдущий вопрос

Явная синхронизация:

active proctype A() provided (toggle == true){
  L: cnt++;
  printf("A: cnt=%d\n", cnt);
  toggle = false;
  goto L
}

active proctype B() provided (toggle == false){
  L: cnt--;
  printf("B: cnt=%d\n", cnt);
  toggle = true;
  goto L
}

Процесс выполняется, только если значение provided clause равно true. По умолчанию значение равно true

[править] Язык Promela. Основные операторы языка Promela. Операторы-выражения, присваивания.

Основные операторы языка Promela

задают элементарные преобразования состояний,
размечают дуги в системе переходов соответствующего процесса,
их немного – всего 6 типов:
- выражение
- присваивание
- печать
- проверка свойства безопасности (assert)
- отправка сообщения
- прием сообщения
оператор может быть:
- выполнимым: может быть выполнен,
- заблокированным: (пока что) не может быть выполнен,
- выполнимость может зависеть от глобального состояния.

Оператор-выражение

выполним только если выражение не равно 0 (истинно):
- 2 < 3 – выполним всегда,
- x < 27 – выполним только если значение x < 27,
- 3 + х – выполним только если x != -3.

Оператор-присваивание

всегда безусловно выполним, меняет значение только одной переменной, расположенной слева от “=”.

[править] Язык Promela. Основные операторы языка Promela. Отладочная печать, операторы skip, true, run, assert.

Основные операторы языка Promela

присваивание: x++, x--, x = x + 1, x = run P();
выражение: (x), (1), run P(), skip, true, else, timeout;
печать: printf(“x = %d\n”, x);
ассерт: assert(1+1 == 2), assert(false);
отправка сообщения: q!m;
приём сообщения: q?m;

Отладочная печать

оператор печати printf, всегда безусловно выполним, на состояние не влияет

Псевдо-операторы

skip: всегда выполним, без эффекта, эквивалент выражения (1),
true: всегда выполним, без эффекта, эквивалент выражения (1),
run: 0 если при создании процесса превышен лимит, pid в противном случае.

Оператор assert

всегда выполнимо, не влияет на состояние системы,
Spin сообщает об ошибке, если значение выражения равно 0 (false),
используется для проверки свойств безопасности.

[править] Язык Promela. Чередование (интерливинг) операторов. Внешний и внутренний недетерминизм. Управление выполнимостью операторов.

Чередование (интерливинг) операторов

процессы выполняются параллельно и асинхронно, между двумя последовательными операторами одного процесса может быть сколь угодно длинная пауза,
произвольная диспетчеризация процессов,
выполнение операторов разных процессов происходит в произвольном порядке, основные операторы выполняются атомарно,
в теле одного процесса также допускается недетерминированное ветвление

Внешний и внутренний недетерминизм

два уровня недетерминизма:
- внешний (выбор процесса),
- внутренний (выбор действия в процессе).

Управление выполнимостью операторов Основной инструмент управления выполнимостью операторов в Promela – выражения (expressions). (a + b) -> c++; Так же существуют управляющие конструкции if..fi и do..od

[править] Язык Promela. Задание потока управления последовательного процесса. Управляющие конструкции if, do. Организация внутреннего недетерминизма.

Задание потока управления последовательного процесса 5 способов задать поток управления:

последовательная композиция(“;”), метки, goto,
структуризация (макросы и inline),
атомарные последовательности (atomic, d_step),
недетерминированный выбор и итерации (if..fi, do..od),
escape-последовательности ({...}unless{...}).

Специальные выражения и переменные

else – true, если ни один оператор процесса не выполним,
timeout – true, если ни один оператор модели не выполним,
_ – переменная, доступная только по записи, значение не сохраняет,
_pid – минимальный доступный pid,
_nr_pr – число активных процессов.

[править] Язык Promela. Каналы сообщений. Операторы отправки и приёма сообщений. Тип mtype. синхронная и асинхронная передача сообщений.

Каналы сообщений

сообщения передаются через каналы (очереди/буфера ограниченного объёма)
каналы бывают двух типов:
- буферизованные (асинхронные),
- небуферизованные (синхронные, рандеву);

chan x = [10] of {int, short, bit};

Операторы отправки и приема сообщений Отправка: ch!expr1,...exprn

значения expri соответствуют типам в объявлении канала;
выполнимо, если заданный канал не полон;

Приём: ch?const1 или var1,...constn или varn

значения vari становятся равны соотв. значениям полей сообщения;
значения consti ограничивают допустимые значения полей;
выполнимо, если заданный канал не пуст и первое сообщение в канале соответствует всем константным значениям в операторе приёма сообщения;

Объявление mtype

способ определить символьные константы (до 255)

Объявление mtype: mtype = {foo, bar}; mtype = {ack, msg, err, interrupt};

Объявление переменных типа mtype: mtype a; mtype b = foo;

Cинхронная и асинхронная передача сообщений

Асинхронная передача
- асинхронные сообщения буферизуются для последующего приёма, пока канал не полон,
- отправитель блокируется, когда канал полон,
- получатель блокируется, когда канал пуст.
Синхронная передача
- ёмкость канала равна 0 - chan ch = [0] of {mtype};
- передача сообщений методом “рандеву”,
- не хранит сообщения,
- отправитель блокируется в ожидании получателя, и наоборот,
- отправка и приём выполняются атомарно.

[править] Язык Promela. Каналы сообщений. Вспомогательные операции с каналами сообщений.

Другие операции с каналами

len(q) – возвращает число сообщений в канале,
empty(q) – возвращает true, если q пуст,
full(q) – возвращает true, если q полон,
nempty(q) – вместо !empty(q) (в целях оптимизации),
nfull(q) – вместо !full(q) (в целях оптимизации).
q?[n,m,p]
- булевое выражение без побочных эффектов,
- равно true только когда q?n,m,p выполнимо, однако не влияет на значения n,m,p и не меняет собержимое канала q;
q?<n,m,p>
- выполнимо тогда же, когда и q?n,m,p; влияет на значения n,m,p так же, как q?n,m,p, однако не меняет содержимое q;
q?n(m,p)
- вариант записи оператора приёма сообщения (т.е. q?n,m,p),
- может использоваться для отделения переменной от констант
q!!n,m,p – аналогично q!n,m,p, но сообщение n,m,p помещается в канал q сразу за первым сообщением, меньшим n,m,p;
q??n,m,p – аналогично q?n,m,p, но из канала может быть выбрано любое сообщение (не обязательно первое).

Имя канала может быть локальным или глобальным, но канал сам по себе – всегда глобальный объект

[править] Язык Promela. Основные типы данных. Область видимости данных.

Основные типы данных
Тип	Диапазон	Пример объявления
bit	0..1	bit turn = 1;
bool	false..true	bool flag = true;
byte	0..255	byte cnt;
chan	1..255	chan q;
mtype	1..255	mtype msg;
pid	1..255	pid p;
short	-2¹⁵..2¹⁵-1	short s = 100;
int	-2³¹..2³¹-1	int x = 1;
unsigned	0..2ⁿ-1	unsigned u : 3; // 3 бита [?]

по умолчанию все объекты (и локальные и глобальные) инициализируются нулём;
все переменные должны быть объявлены до первого использования;
переменная может быть объявлена где угодно.

'Одномерные массивы'

byte a[27]; bit flags[4] = 1;

все элементы массива инициализируются одним значением,
индексы нумеруются с 0;

'Пользовательские типы данных'

typedef record { short f1; byte f2 = 4; } record rr; rr.f1 = 5;

Только два уровня видимости

глобальный (данные видны всем активным процессам),
локальный (данные видны только одному процессу)
- подобластей (напр. для блоков) нет,
- локальная переменная видна везде в теле процесса;

Верификация программ на моделях

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Календарь

	пт	пт	пт	пт	пт
Февраль		08	15	22	29
Март		14	21	28
Апрель	04	11	18

Материалы по курсу
Список вопросов к экзамену | Примеры задач: 1 2 3 4 5 | Теормин

Получено с http://esyr.name/wiki/%D0%92%D0%9F%D0%BD%D0%9C/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Моделирование и абстракция ==
 === Моделирование программ. Понятие состояния. Потенциальные и достижимые состояния. Требования к модели. Процесс построения модели. ===
-Схема верификации на моделях (Лекция 2, слайд 3)
+[[Изображение:Verif1.png|400px|thumb|right|Схема верификации на моделях (''Лекция 2, слайд 3'')]]
-'''Состояние программы''' - совокупность значений переменных и управления, связанных с некоторой моделью программы.
+'''Состояние программы''' - совокупность значений объектов данных и счётчика управления, связанных с некоторой моделью программы.
 '''Модель''' - упрощённое описание реальности, выполненное с определенной целью.
@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 # выбор языка моделирования
 # абстракция системы до модели с учётом требований
+[[Изображение:Verif2.png|400px|thumb|center|<u>Построение модели</u> в строгом смысле (''Лекция 2, слайд 38'')]]
+Состояние называется <u>достижимым</u>, если существует вычисление программы, в котором оно присутствует
 === Моделирование программ. Размеченные системы переходов. Детерминизм и недетерминизм. Вычисления и трассы. Свойства линейного времени. Выполнимость свойства на трассе.===
@@ Строка 29: / Строка 32: @@
 * Act - множество действий
 * '' <math>\tau</math> - невидимое действие ''
-* <math>\overset{a}{\rightarrow} \subseteq S \times Act \times S </math> - тотальное отношение переходов
+* <math>\overset{a}{\rightarrow} \subseteq S \times Act \times S </math> - тотальное отношение переходов. Тотальность означает, что из каждого состояния ведёт какое-то действие.
-* <math>s_0 \in S</math> - начальное состояние
+* <math>s_0 \in S</math> - начальное состояние, либо <math>I</math> - множество начальных состояний
 * AP - множество атомарных высказываний
 * <math>L:S \rightarrow 2^{AP}</math> - функция разметки
@@ Строка 47: / Строка 50: @@
 * '''по действиям''' тогда и только тогда, когда
 ** <math>|I| \leqslant 1</math>
-** <math>\forall s \in S, \forall a \in Act \Rightarrow |Post(s, a)| \leqslant 1</math>
+** <math>\forall s \in S, \forall a \in Act \Rightarrow |Post(s, a)| \leqslant 1</math> (количество потомков не больше одного)
 * '''по атомарным высказываниям'''
 ** <math>|I| \leqslant 1</math>
-** <math>\forall s \in S, \forall A \in 2^{AP} ~ \Rightarrow ~ |Post(s) \cap \{s' \in S, L(s') = A\}| \leqslant 1</math> ( количество одинаково размеченных потомков не больше одного )
+** <math>\forall s \in S, \forall A \in 2^{AP} ~ \Rightarrow ~ |Post(s) \cap \{s' \in S, L(s') = A\}| \leqslant 1</math> (количество '''одинаково размеченных''' потомков не больше одного)
@@ Строка 65: / Строка 68: @@
 # '''Бесконечный (максимальный) фрагмент вычисления <math>\rho</math>''' - <math>\rho = s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots, \forall i \geqslant 0 \Rightarrow s_i \overset{a_{i+1}}{\rightarrow} s_{i+1}</math>
 # '''Начальный фрагмент вычисления''' - фрагмент вычисления, для которого <math>s_0 \in I</math>
-# '''Вычисление''' - начальный максимальный фрагмент вычисления
+# '''Вычисление''' - начальный максимальный фрагмент вычисления (описывает последовательность состояний и действий)
 '''Достижимое состояние''' (из начального) в системе переходов TS - такое состояние <math>s \in S</math>, для которого существует конечный фрагмент вычисления <math>s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots a_n s_n = s</math>
@@ Строка 71: / Строка 74: @@
 '''Reach(TS)''' - множество всех достижимых состояний в TS
-'''Трасса''' <math>tr = L(s_0) L(s_1) \dots \in (2^{AP})^\omega</math>
+'''Трасса''' <math>tr = L(s_0) L(s_1) \dots \in (2^{AP})^\omega</math>; <math>~\omega</math> означает, что трасса может быть бесконечной
 ====Свойства линейного времени====
 * Свойство <math>\varphi</math> определяет набор допустимых трасс: <math>\varphi \subseteq (2^{AP})^\omega</math>
-* Система переходов TS удовлетворяет свойству линейного времени <math>\varphi</math>
+* Система переходов TS удовлетворяет свойству линейного времени <math>\varphi</math>, если: <math>TS \models \varphi ~~ \Leftrightarrow ~~ Traces(TS) \subseteq \varphi</math>
-** <math>TS \models \varphi ~~ \Leftrightarrow ~~ Traces(TS) \subseteq \varphi</math>
+* по определению программа удовлетворяет свойству &phi;, если её система переходов удовлетворяет этому свойству: <math>P \models \varphi ~~ \equiv ~~ TS(P) \models \varphi </math> -
-** <math>P \models \varphi ~~ \equiv ~~ TS(P) \models \varphi </math> - по определению программа удовлетворяет свойству &phi;, если её система переходов удовлетворяет этому свойству
 === Моделирование программ. Графы программ. Статическая и операционная семантика. ===
@@ Строка 88: / Строка 90: @@
 ** <math> dom(v) = D_p^v \subseteq D_p</math> -- каждая переменная принадлежит какому-либо домену
 * <math>n</math> -- подстановка. <math>n: V_p \rightarrow D_p, \forall v  \in Var</math> <math>n(v) \in D_p^v</math>
-* <math>Cond(V_p)</math> -- Набор булевых условий над <math>V_p</math>
+* <math>~ Cond(V_p)</math> -- Набор булевых условий над <math>V_p</math>
-** формулы пропозициональной логики
+** формулы пропозициональной логики (<math>p1 \or p2</math>)
-** условия на переменные
+** условия на переменные вида <math>x \in X</math> (p1: 3<=y<18, p2: f=4)
-* <math>Eval(Var)</math> -- множество значений переменных. Собственно, это и есть подстановка.
+* <math>~ Eval(Var)</math> -- множество значений переменных. Собственно, это и есть подстановка.
 * Эффект операторов: <math>Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)</math>
@@ Строка 98: / Строка 100: @@
 <math>  PG= \langle Loc , Act , Effect ,\rightarrow, Loc_0, g_0 \rangle </math>
-* <math>Loc</math> -- множество точек
+* <math>~ Loc</math> -- множество точек
 ** <math>Loc_0 \in Loc</math> -- множество начальных точек
-* <math>Act</math> -- множество действий
+* <math>~ Act</math> -- множество действий
 * <math>\rightarrow \subseteq Loc \times (Cond(V_p) \times Act) \times Loc </math> -- отношение перехода (<math>Cond(V_p) </math> -- это фактически страж оператора )
-* <math>Effect</math> -- функция эффекта
+* <math>~ Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)</math> -- функция эффекта
 * <math>g_0 \in Cond(V_p)</math> -- начальное условие
@@ Строка 111: / Строка 113: @@
 ** находимся в точке программы l
 ** значение переменной x принадлежит некоторому множеству и это множество является подмножеством множеств значений этой переменной.
-* Состояния <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказыванием о том, что мы находимся в точке программы l и всеми высказываниями, истинными в n
+* Состояния <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказыванием о том, что мы находимся в точке программы <math>~ l</math> и всеми высказываниями, истинными в <math>~ n</math>
-* Если в графе программы есть дуга из l в <math>l'</math> со стражем g и действием a и в некоторой подстановке n выполняется страж g, то в системе переходов, которая соответствует этой программе будет присутствовать дуга из состояния <math>\langle l,n\rangle</math> в состояние <math>\langle l', Effect(a,n)\rangle</math> по действию a.
+* Если в графе программы есть дуга из <math>~ l</math> в <math>~ l'</math> со стражем <math>~ g</math> и действием <math>~ a</math> и в некоторой подстановке <math>~n</math> выполняется страж <math>~ g</math>, то в системе переходов, которая соответствует этой программе будет присутствовать дуга из состояния <math>\langle l,n\rangle</math> в состояние <math>\langle l', Effect(a,n)\rangle</math> по действию <math>~ a</math>.
 '''Системы переходов графов программ'''
@@ Строка 119: / Строка 121: @@
 * <math>S = Loc \times Eval(V_p)</math> (декартово произведение точек программы на всевозможные подстановки)
-* <math>\rightarrow : S \times Act \times S </math> с соответствующим правилом вывода <math> \frac{l \overset{g:a}{\rightarrow} l \and (n \models g) }{\langle l,n \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle l',Effect(a,n) \rangle }</math>
+* <math>\rightarrow : S \times Act \times S </math> с соответствующим правилом вывода <math> \frac{l \overset{g:a}{\rightarrow} l' \and (n \models g) }{\langle l,n \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle l',Effect(a,n) \rangle }</math>
 * Множество начальных состояний системы переходов описывается как множество состояний, в которых точка программы принадлежит начальным точкам, а на подстановках выполняется начальное условие графа программы:
-** <math>I={\langle l , n \rangle : l \in Loc_0 , n \models  g_0 }</math>
+** <math>I=\{\langle l , n \rangle : l \in Loc_0 , n \models  g_0 \}</math>
 * Множество атомарных высказываний -- это объединение множества точек программы и всевозможных булевых высказываний над переменными программы:
 ** <math>AP=Loc \cup Cond(V_P) </math>
 * Состояния вида <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказываниям о точке программы, в которой мы находимся и всеми высказываниями из множества всевозможных высказываний, которые верны в этой подстановке:
-** <math>L(\langle l , n \rangle)= (l) \cup (g \in Cond(V_P): n \models  g ).</math>
+** <math>L(\langle l , n \rangle)= \{l\} \cup \{g \in Cond(V_P): n \models  g \}.</math>
-''Пример: Лекция 4, слайд 16''
+'''Пример: Лекция 4, слайд 16'''
+'''Статическая и операционная семантика'''
+'''Cтатическая семантика''' – набор ограничений, которым должна удовлетворять структура программы;
+'''Операционная семантика''' – понятие состояния программы и изменение состояния в ходе работы программы; то, как по графу строится LTS.
+(См. Л.5, сл. 15, 2010 )
 === Параллелизм. Чередование систем переходов. ===
@@ Строка 159: / Строка 168: @@
 '' Лекция 4, слайды 25—28 ''
-Для графов программ <math>PG_1</math> (над <math>V_1</math>) и <math>PG_2</math> (над <math>V_2</math>) без разделяемых переменных (т. е. <math>V_1 \cap V_2 = \emptyset</math>), формула
+Для графов программ <math>PG_1</math> (над <math>V_1</math>) и <math>PG_2</math> (над <math>V_2</math>) без разделяемых переменных (т. е. <math>V_1 \cap V_2 = \varnothing</math>):
-:<math>TS(PG_1)~|||~TS(PG_2)</math>
+* формула <math>TS(PG_1)~|||~TS(PG_2)</math> достоверно описывает параллельную композицию <math>PG_1</math> и <math>PG_2</math>
-достоверно описывает параллельную композицию <math>PG_1</math> и <math>PG_2</math>. В случае с разделяемыми переменными это не так (см. лекцию 4, слайд 26).
+* в случае с разделяемыми переменными это не так (см. лекцию 4, слайд 26).
 Пусть
@@ Строка 207: / Строка 216: @@
 Тогда <math>TS_1 \times TS_2 = \langle S_1 \times S_2, Act, \rightarrow, I_1 \times I_2, AP_1 \cup AP_2, L \rangle </math>, где
 * <math>L(\langle s_1, s_2 \rangle) = L_1(s_1) \cup L_2(s_2)</math>
-* <math>\rightarrow</math> определяется как: <math>\frac{s_1 \overset{\alpha}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{\beta}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{\alpha * \beta}{\rightarrow} \langle s_1', s_2 \rangle}</math>
+* <math>\rightarrow</math> определяется как: <math>\frac{s_1 \overset{\alpha}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{\beta}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{\alpha * \beta}{\rightarrow} \langle s_1', s_2' \rangle}</math>
 === Параллелизм. Асинхронный параллелизм. Системы с каналами. Операционная семантика. ===
@@ Строка 233: / Строка 242: @@
 \xi(c'), & c \neq c' \\
 v_1 v_2 \dots v_k, & c = c' \\
-\end{array} \right.</math>
+\end{array} \right.</math> ''Кто понимает смысл этой хренотени, опишите, плз. [[Участник:Overrider|Overrider]] 18:28, 22 мая 2009 (UTC)''
 Исходная оценка <math>\xi_0(c) = \epsilon, \forall c \in Chan</math>
 ''Операционная семантика: лекция 4, слайды 44—46''
+====операционная семантика====
+Пусть <math>CS = \left[PG_1 | PG_2 | \dots | PG_n\right]</math> – система с каналами над <math>(Chan, Var)</math>, и
+<math>PG = \langle Loc, Act, Effect, \rightarrow, Log_0, g_0 \rangle</math>
+Система переходов <math>TS(CS)</math> описывается сигнатурой
+<math>TS(CS) = \langle S, Act, \rightarrow, I , AP, L \rangle </math>, где
+<math>S = ( Loc_1 \times \dots \times Loc_n ) \times Eval(Var) \times Eval(Chan)</math>
+<math>Act = ( \cup_{0 \leqslant i \leqslant n} Act_i ) ~ \cup ~ \tau </math>
+<math>I = \{
+\langle
+       l_1, \dots, l_n, \eta, \xi
+\rangle
+|
+\forall i ( l_i \in Loc_{0i} \and  \eta \models g_0 ) \and \forall c ( \xi_0(c) = \epsilon )
+   \}</math>
+<math>AP = ( \cup_{0 \leqslant i \leqslant n} Loc_i ) \cup Cond(Var)</math>
+<math>L(
+\langle
+       l_1, \dots, l_n, \eta, \xi
+\rangle
+) =
+\{
+    l_1, \dots, l_n
+\}
+\cup
+\{
+     g \in Cond( Var ) | \eta \models g
+\}</math>
+'''Правила вывода'''
+<ul>
+<li> <p> интерливинг для <math> \alpha \in Act_i </math> </p>
+<p><math>
+\frac
+{l_i \overset{g:\alpha}{\rightarrow} l_i' \and n \models g }
+{
+     \langle
+         l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi
+     \rangle
+     \overset{\alpha}{\rightarrow}
+     \langle
+         l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta', \xi
+     \rangle
+}
+</math></p>
+</li>
+<li> <p>Синхронная передача сообщений через <math>c  \in Chan, cap(c) = 0</math></p>
+<p>
+<math>
+\frac
+{
+     l_i \overset{c?x}{\rightarrow} l_i' \and
+     l_j \overset{c!v}{\rightarrow} l_j' \and
+     i \neq j
+}
+{
+     \langle
+         l_1, \dots , l_i, \dots, l_j, \dots , l_n , \eta, \xi
+     \rangle
+     \overset{\alpha}{\rightarrow}
+     \langle
+         l_1, \dots, l_i', \dots, l_j', \dots , l_n , \eta', \xi
+     \rangle
+}
+</math>
+</p>
+</li>
+<li>
+<p>
+     Асинхронная передача сообщений через <math>c \in Chan, cap(c) \neq 0</math>
+</p>
+<ul>
+<li>
+    <p>
+         получить значение по каналу c и присвоить переменной x:
+    </p>
+<p>
+<math>
+\frac
+{
+     l_i \overset{c?x}{\rightarrow} l_i' \and
+     len(\xi(c))=k>0) \and
+     \xi(c)=v_1 \dots vk
+}
+{
+     \langle
+         l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi
+     \rangle
+     \overset{c?x}{\rightarrow}
+     \langle
+         l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta', \xi'
+     \rangle
+}
+</math>,
+</p>
+<p>
+    где
+    <math>
+        \eta' = \eta[x=v_1],  \xi'=\xi[c=v_2 \dots v_k ]
+    </math>
+</p>
+</li>
+<li>
+     <p>
+         передать значение <math>v \in dom(c) </math> по каналу c:
+     </p>
+<p>
+<math>
+\frac
+{
+     l_i \overset{c!v}{\rightarrow} l_i' \and
+     len(\xi(c))=k<cap(c)) \and
+     \xi(c)=v_1 \dots vk
+}
+{
+     \langle
+         l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi
+     \rangle
+     \overset{c!v}{\rightarrow}
+     \langle
+         l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta, \xi'
+     \rangle
+}
+</math>,
+</p>
+<p>
+    где
+    <math>
+         \xi'=\xi[c=v_1 \dots v_k v ]
+    </math>
+</p>
+</li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+<math></math>
+<math></math>
 === Абстракция. Абстракция трасс. Абстракция системы переходов. Необходимое и достаточное условие корректности LTS модели. ===
-Представим трассу в форме интерпретации I: <math>I(tr) = <\mathbb{N}, \leqslant, \xi></math>
+Представим трассу в форме интерпретации I: <math>I(tr) = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi\rangle</math>
 * <math>\mathbb{N}</math> - множество натуральных чисел
 * <math>\leqslant</math> - отношение порядка на <math>\mathbb{N}</math>
@@ Строка 246: / Строка 409: @@
 Рассмотрим трассы tr и tr' такие, что
-* <math>I(tr) = <\mathbb{N}, \leqslant, \xi>, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP = \{true, false\}</math>
+* <math>I(tr) = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi\rangle, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP = \{true, false\}</math>
-* <math>I(tr') = <\mathbb{N}, \leqslant, \xi'>, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP' = \{true, false\}</math>
+* <math>I(tr') = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi'\rangle, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP' = \{true, false\}</math>
-Будем говорить, что трасса tr' является '''абстракцией трассы''' tr (<math>tr \leqslant tr'</math>), если
+Будем говорить, что трасса tr' является '''абстракцией трассы''' tr (<math>tr \prec tr'</math>), если
 # <math>AP' \subseteq AP</math>
 # <math>\exists \alpha : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> такое, что
@@ Строка 257: / Строка 420: @@
 Пример абстракции трассы: Лекция 2, слайд 53
-''' Необходимое условие корректности модели ''' - <math>\forall tr \in Traces(TS(P)) ~ \exists tr' \in Traces(TS(M)) ~ : ~ tr \leqslant tr'</math>, где
+'''Определение.''' Пусть P – система, φ – произвольное свойство линейного времени. '''Корректной моделью ''' P называется такая М, что:
-* <math>P</math> - система
+<math> M \models \phi \Rightarrow P \models \phi </math>.
-* <math>M</math> - модель этой системы
+''(позволяет проверять свойства программы на её модели )''
-При этом, если <math>\varphi</math> - некоторое свойство системы, то <math>M \models \varphi ~ \Rightarrow ~ P \models \varphi</math> выполняется тогда и только тогда, когда верно условие корректности модели.
+''' Необходимое и достаточное условие корректности модели:'''
+Модель <math>M</math> системы <math>P</math> корректна тогда и только тогда, когда <math>\forall tr \in Traces(TS(P)) ~ \exists tr' \in Traces(TS(M)) ~ : ~ tr \prec tr'</math>.
+''(для проверки такого условия нужно рассмотреть все трассы исходной системы, допускает, что в модели
+больше состояний )''
 === Абстракция. Абстракция системы переходов. Достаточное условие корректности LTS модели. Адекватность LTS модели. ===
@@ Строка 278: / Строка 444: @@
 ** Каждому переходу из системы должен соответствовать переход в модели: <math>s^1_1 \rightarrow_1 s^1_2 ~ \Rightarrow ~ a(s^1_1) \rightarrow_2 a(s^1_2)</math>
 * Метки на состояниях модели должны состоять только из предикатов модели: <math>\forall s \in S^1: L^2(a(s)) = L^1(s) \cap  2^{AP^2}</math>
+Модель называется '''адекватной''', если:
+* Атомарные высказывания, в терминах которых задаются свойства, присутствуют в разметке модели. ''(Необходимое условие)''
+* Из нарушения свойства на модели следует, что оно нарушается и на исходной системе. ''(Достаточное условие)''
 '''Необходимое условие адекватности модели свойствам правильности''': алфавит предикатов свойств правильности включен в алфавит предикатов модели — <math>AP_\phi \subseteq AP_M</math>. Условие не является достаточным (см. примеры, лекция 3, слайды 4—5).
@@ Строка 297: / Строка 467: @@
 === Свойства правильности. Формулирование требований правильности программы. Двойственность. Типы свойств. ===
+''Лекция 5, слайды 2-14.''
-'''Требования правильности''' -- утверждения о возможных и невозможных вариантах выполнения программы.
+'''Требования правильности''' — утверждения о возможных и невозможных вариантах выполнения программы.
 <u>Двойственность</u> :
-* если какое-то утверждение невозможно, то обратное -- неизбежно
+* если какое-то утверждение невозможно, то обратное — неизбежно
-* если какое-то утверждение неизбежно, то обратное -- невозможно
+* если какое-то утверждение неизбежно, то обратное — невозможно
 * при помощи логики от одного можно переходить к другому при помощи отрицания
@@ Строка 310: / Строка 481: @@
 * в Promela:
 ** свойства состояний
-*** asserts
+*** [http://en.wikipedia.org/wiki/Assertion_%28computing%29 asserts]:
 **** локальные ассерты процессов
-**** инварианты системы процессов
+**** [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82#.D0.98.D0.BD.D0.B2.D0.B0.D1.80.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D1.82.D1.8B_.D0.B2_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.BC.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B8 инварианты] системы процессов
 *** метки терминальных состояний
 **** задаём допустимые точки останова прочесса
 ** свойства последовательностей состояний
-*** метки прогресса - чтобы найти циклы бездействия
+*** метки прогресса — чтобы найти циклы бездействия
-*** утверждения о невозможности (never claims) - например, LTL формулы
+*** утверждения о невозможности (never claims) — например, LTL формулы
-*** трассовые ассерты - используются для описания правильных последовательностей выполнения операторов отправки и приема сообщения
+*** трассовые ассерты — используются для описания правильных последовательностей выполнения операторов отправки и приема сообщения
 === Свойства правильности. Свойства безопасности и живучести. Проверка таких свойств. Примеры свойств. ===
@@ Строка 331: / Строка 502: @@
 ** пример: “отзывчивость” (например, если отправлен запрос, то рано или поздно будет сгенерирован ответ)
 ** задача верификатора – найти вычисления, в которых это “хорошее” может откладываться до бесконечности.
+'''ps'''. автор терминов – Лесли Лампорт; см. ''Лекция 5, слайд 4''.
 === Автоматы Бюхи. Конечные автоматы. Проход автомата. Язык автомата. ===
@@ Строка 385: / Строка 557: @@
 <u>Формула в LTL '''f::='''</u>
-* '''p, q, ... ''' -- свойства состояний, включая '''true''' и '''false'''
+* '''p, q, ... ''' — свойства состояний, включая '''true''' и '''false'''
-* '''(f)''' -- группировка при помощи скобок
+* '''(f)''' — группировка при помощи скобок
-* '''<math>\alpha ~ f</math>''' -- унарные операторы
+* '''<math>\alpha ~ f</math>''' — унарные операторы
-* '''<math>f_1 ~ \beta ~ f_2</math>''' -- бинарные операторы
+* '''<math>f_1 ~ \beta ~ f_2</math>''' — бинарные операторы
 <u>Операторы в LTL</u>
 * унарные
-** <math>\Box</math> ([]) -- всегда в будущем
+** <math>\Box</math> ([]) — всегда в будущем, т.е. <math>s_j \models \Box f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \forall j, j \geqslant i: ~ s_j \models f</math>
-** <math>\diamond</math> (<>) -- в конце концов
+** <math>\Diamond</math> (<>) — в конце концов, т.е. <math>s_j \models \Diamond f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \exists j, j \geqslant i: ~ s_j \models f</math>
-** <math>X</math> (X) -- в следующем состоянии
+** <math>X</math> (X) — в следующем состоянии, т.е. <math>s_j \models X f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ i: ~ s_{j+1} \models f</math>
-** <math>\neg</math> (!) -- логическое отрицание
+** <math>\neg</math> (!) — логическое отрицание
 * бинарные
-** <math>U</math> (U) -- до тех пор, пока
+** <math>\wedge</math> (&&) — логическое И
-** <math>\wedge</math> (&&) -- логическое И
+** <math>\vee</math> (||) — логическое ИЛИ
-** <math>\vee</math> (||) -- логическое ИЛИ
+** <math>\rightarrow</math> (->) — логическая импликация
-** <math>\rightarrow</math> (->) -- логическая импликация
+** <math>\leftrightarrow</math> (<->) — логическая эквивалентность
-** <math>\leftrightarrow</math> (<->) -- логическая эквивалентность
+** <math>U</math> (U) — до тех пор, пока (until)
-'''Сильный Until:'''
+====Выполнимость формул:====
-* всегда e, до тех пор, пока не f, при этом f обязательно должно наступить
+* Задаётся последовательность состояний прохода <math>\sigma: s_0, s_1, s_2, \dots</math>
-* <math>s_i \models e U f ~~ \Leftrightarrow ~~ \begin{cases}
+* <math>\forall i, i \geqslant 0, ~ \forall p </math> определена выполнимость <math> p </math> в <math> s_i </math>
+* Семантика LTL:
+** <math>\sigma \models f \Leftrightarrow s_0 \models f</math>
+** <math>s_i \models \Box f \Leftrightarrow \forall j, j \geqslant i: s_j \models f</math>
+** <math>s_i \models \Diamond f \Leftrightarrow \exists j, j \geqslant i: s_j \models f</math>
+** <math>s_i \models Xf \Leftrightarrow s_{i+1} \models f </math>
+** '''Слабый Until:'''
+*** всегда e, до тех пор, пока не f, при этом не факт, что f наступает (тогда всегда e)
+*** <math>s_i \models e W f ~~ \Leftrightarrow ~~ s_i \models f \vee (s_i \models e \wedge s_{i+1} \models e W f)</math>
+** '''Сильный Until:'''
+*** всегда e, до тех пор, пока не f, при этом f обязательно должно наступить
+*** <math>s_i \models e U f ~~ \Leftrightarrow ~~ \begin{cases}
 \exists j, j \geqslant i: ~ s_j \models f \\
 \forall k, i \leqslant k < j: ~ s_k \models e
 \end{cases}</math>
-'''Слабый Until:'''
-* всегда e, до тех пор, пока не f, при этом не факт, что f наступает (тогда всегда e)
-* <math>s_i \models e \cup f ~~ \Leftrightarrow ~~ s_i \models f \vee (s_i \models e \wedge s_{i+1} \models e \cup f)</math>
-<u>Выполнимость формул:</u>
-* Задаётся последовательность состояний прохода <math>\sigma</math>
-* <math>\forall i, i \geqslant 0, ~ \forall p ~~ : ~~ s_i \models p </math> '' Внимание!! это слишком смахивает на бред, который должен быть интуитивно понятен. Если кто может - распишите подробнее выполнимость!! ''
 === Логика LTL. Основные типы свойств LTL. Цикличность, стабильность, инвариант, гарантия, отклик, приоритет, корреляция. ===
@@ Строка 519: / Строка 694: @@
 === Логика LTL. Выразительная мощность LTL. Логики LTL + существование, CTL* и CTL. Сравнение выразительной мощности. ===
-При помощи конструкции never можно описать любой w-регулярный автомат над словами
+При помощи конструкции never можно описать любой &omega;-регулярный автомат над словами
 '''Выразительная мощность LTL'''
@@ Строка 532: / Строка 707: @@
 (p) может быть истинным после выполнения системой чётного количества шагов, но никогда не истинно после нечётного.
-<math>\exists </math> t.t && [](t -> X!t) && [](!t -> Xt) && [](!t -> !p)
+<math>\exists </math> t(t && [](t -> X!t) && [](!t -> Xt) && [](!t -> !p))
 LTL-формула описывает свойство, которое должно выполняться на '''всех''' вычислениях, начинающихся из исходного остояния системы
@@ Строка 538: / Строка 713: @@
 '''Логика СTL*'''
 * Логика ветвящегося времени:
-** использует кванторы ∀ и ∃
+** использует кванторы ∀ и ∃ для обозначения трасс, на которых может выполняться свойство
 ** использует F вместо <> и G вместо []
 '''Логика СTL'''
-Логика CTL – фрагмент логики CTL*, в котором под управлением квантора пути (E или A) может находиться не более дного
+Логика CTL – фрагмент логики CTL*, в котором кванторы могут встречаться только парами, причём в паре должны обязательно находиться один временной и один пространственный кванторы. Например: AG EF(p), A(p U q).
-оператора X или U
 '''Выразительные возможности CTL* и CTL'''
@@ Строка 571: / Строка 745: @@
 <u>Методы верификации:</u>
-* "Полное" тестирование (слайды 14-22)
+* "Полное" тестирование (''Лекция 1, слайды 14-22'')
-* Имитационное моделирование
+* Имитационное моделирование ([http://ru.wikipedia.org/wiki/Имитационное_моделирование  вики])
-* Доказательство теорем (27-29)
+* Доказательство теорем (''слайды 27-29'')
-* Статический анализ (30-33)
+* Статический анализ (''слайды 30-33'')
-* Верификация на моделях (34-38)
+* Верификация на моделях (''слайды 34-38'')
 <u>Типы программ:</u>
@@ Строка 592: / Строка 766: @@
 === Подходы к верификации программ. Тестирование и имитационное моделирование. Область применения, плюсы и минусы. Проблема полноты тестового покрытия. ===
+«Тестирование может показать присутствие ошибок, но не может показать их отсутствия» © Дейкстра.
+Обоснование полноты тестового покрытия:
+* метод «чёрного ящика» (ЧЯ) — полное покрытие входных данных,
+* метод «прозрачного ящика» (ПЯ) — полное покрытие кода программы.
+Плюсы применения тестирования:
+* проверяется та программа, которая будет использоваться,
+* не требуется знание/использование дополнительных инструментальных средств,
+* удобная локализация ошибки.
+Минусы применения тестирования:
+* не всегда есть условия для тестирования системы,
+* проблема с воспроизводимостью тестов (частичное решение — имитационное моделирование).
+====Проблема полноты тестового покрытия====
+* Чёрный ящик:
+** для последовательных программ сложно перебрать все входные данные,
+** для параллельных программ — очень сложно,
+** для динамических структур данных, взаимодействия с окружением — невозможно.
+* Прозрачный ящик:
+** большой размер покрытия,
+** часто невозможно построить 100% покрытие,
+** полное покрытие не гарантирует отсутствия ошибок.
+Итоги:
+* Полный перебор входных данных — невозможен.
+* Полнота покрытия кода не гарантирует правильности.
+* Ошибка — ошибочное вычисление системы.
+* Полнота в терминах возможных вычислений — хороший критерий.
 === Подходы к верификации программ. Доказательство теорем. Область применения, плюсы и минусы. ===
@@ Строка 672: / Строка 873: @@
 '' Лекция 1, Слайды 40-44 ''
+'''История развития''' верификации программ на моделях:
+* Флойд, 1967 – assertions, гипотеза о доказуемости корректности программы,
+* Хоар, 1969 – пред- и пост-условия, триплеты Хоара (P | S | Q), логический вывод,
+* Бойер, Мур, 1971 – первый автоматический прувер,
+* Дейкстра, 1975 – Guarded Command Languages,
+* Хоар, 1978 – взаимодействующие последовательные процессы (CSP).
+* Пнуэли, 1977 – темпоральная логика LTL,
+* Пнуэли, 1981 – логика ветвящегося времени (CTL),
+* Кларк, Эмерсон, 1981 и Квили, Сифакис, 1982 – model checking (обход достижимых состояний),
+* Варди и Вольпер, 1986 – новая техника model checking (анализ конформности),
+* Хольцман, 1989 – верификатор SPIN.
+* Бриан, 1989 – Двоичные решающие диаграммы (BDD),
+* МакМиллан, 1993 – верификатор SMV (символьная верификация, BDD),
+* Хольцман, Пелед, 1994 – редукция частичных порядков,
+* 1995 – редукция частичных порядков в SPIN.
+* Кларк, 1992 – абстракция для уменьшения числа состояний модели,
+* Эльсаиди, 1994 – семантическая минимизация,
+* Пелед, 1996, Бир, 1998 – верификация модели «на лету»,
+* Равви, 2000 – анализ достижимости с учётом спецификации,
+* Эмерсон, Прасад, 1994 -- симметрия
+'''Рост мощности''' model checking:
+* 1992 год – 1020 состояний,
+* 1994 год – 10120 состояний,
+* 1998 год(?) – 10394 состояний
 '' Лекция 2, Слайды 3-4 ''
-<u>Примеры классов свойств:</u>
+====Примеры классов свойств:====
 * Стандартные
+** Отсутствие ошибок времени выполнения (RTE),
+** Отсутствие удушения (starvation),
+** Не срабатывают ассерты(assertions).
 ** [http://en.wikipedia.org/wiki/Deadlock deadlocks] ([http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 взаимная блокировка])
 ** [http://en.wikipedia.org/wiki/Race_condition Race condition] ([http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%B8 состояние гонки])
@@ Строка 683: / Строка 912: @@
 ** корректная завершаемость
 ** причинно-следственный и темпоральный порядок состояний системы
+** Инварианты системы,
+** Индикаторы прогресса,
+====Схема верификации на модели====
-''Схема верификации на модели: Лекция 2, слайд 3''
+[[Изображение:Verif1.png|400px|Схема верификации на моделях (''Лекция 2, слайд 3'')]]
 === Верификация при помощи Spin. Задание свойств состояний. ===
@@ Строка 882: / Строка 1115: @@
 ** присваивание
 ** печать
-** проверка свойства безопасности
+** проверка свойства безопасности (assert)
 ** отправка сообщения
 ** прием сообщения