Определения из теории вероятностей
Материал из eSyr's wiki.
(→Случайная величина) |
|||
| (28 промежуточных версий не показаны.) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | = <math>\sigma</math>-алгебра = | ||
| + | Совокупность A подмножеств множества <math>\Omega</math> называется <math>\sigma</math>-алгеброй: | ||
| + | * <math>\Omega \in A</math> | ||
| + | * <math>A_l \in A, l = 1,2</math>, то <math>\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A</math> | ||
| + | * если <math>B \in A</math>, то <math>\overline{B} \in A</math> | ||
| + | |||
= Случайный эксперимент = | = Случайный эксперимент = | ||
'''Случайный эксперимент''' -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. | '''Случайный эксперимент''' -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. | ||
= Случайная величина = | = Случайная величина = | ||
| + | |||
| + | Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное | ||
| + | |||
'''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. | '''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. | ||
| + | |||
| + | '''Случайная величина''' — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = \{\omega_1, ... , \omega_n\}</math>. | ||
| + | |||
| + | ==Определение== | ||
| + | |||
| + | Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной. | ||
| + | |||
| + | Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением. | ||
| + | |||
| + | ==Определение== | ||
| + | Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X. | ||
= Вероятность = | = Вероятность = | ||
| Строка 9: | Строка 32: | ||
'''Вероятность''' - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): | '''Вероятность''' - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): | ||
| - | 1. Р(Ω)=1: | ||
| - | + | * Р(Ω)=1 | |
| - | + | * Р(А)>=0 для любого <math>A \in X</math> | |
| - | + | * обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) . | |
= Вероятностное пространство = | = Вероятностное пространство = | ||
| Строка 26: | Строка 48: | ||
* Элементарные события (элементы <math>\Omega \ </math>), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. | * Элементарные события (элементы <math>\Omega \ </math>), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. | ||
* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события. | * Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события. | ||
| + | = Распределение вероятностей = | ||
| + | ''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>. | ||
| + | |||
| + | '''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. | ||
| + | |||
| + | == Определение == | ||
| + | |||
| + | '''Определение ''' Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math>. В частности, по определению, <math>X</math> является измеримым отображением измеримого пространства <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> в измеримое пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> обозначает борелевскую сигма-алгебру на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда случайная величина <math>X</math> индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\mathbb{R}</math> следующим образом: | ||
| + | |||
| + | :<math>\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).</math> | ||
| + | |||
| + | Мера <math>\mathbb{P}^X</math> называется '''распределением''' случайной величины <math>X</math>. | ||
| + | |||
| + | = Случайная выборка = | ||
| + | '''Случайной выборкой объема <math>n</math>''', отвечающей случайной величине <math>X</math>, c функцией распределения <math>F(x)</math>, называется набор <math>n</math> независимых случайных величин <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>, каждая из которых имеет распределение <math>F(x)</math> | ||
| + | |||
= Источники = | = Источники = | ||
http://ru.wikipedia.org | http://ru.wikipedia.org | ||
| + | |||
| + | {{Курс МОТП}} | ||
Текущая версия
Содержание |
[править] σ-алгебра
Совокупность A подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй:
-
-
, то 
- если
, то 
[править] Случайный эксперимент
Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.
[править] Случайная величина
Определение случайной величины различно для 2-х случаев: Ω -- счетное или не счетное
Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.
Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.
Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω = {ω1,...,ωn}.
[править] Определение
Пусть 
— вероятностное пространство. Функция 
, измеримая относительно 
и борелевской σ-алгебры на 
, называется случайной величиной.
Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.
[править] Определение
Случайной величиной называется функция X = X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω, для которой событие {X < x} = {ω:X(ω) < x} принадлежит σ-алгебре A для любого вещественного X.
[править] Вероятность
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.
Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):
- Р(Ω)=1
- Р(А)>=0 для любого
- обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .
[править] Вероятностное пространство
[править] Определение
Вероятностное пространство — это тройка , где
-
— это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
-
— вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что 
.
[править] Замечания
- Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
- Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие
, если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
[править] Распределение вероятностей
Закон распределения случайной величины X -- соответствие. которое каждому значению xl дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность pl.
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
[править] Определение
Определение Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина 
. В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства 
в измеримое пространство 
, где 
обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру 
на следующим образом:
Мера называется распределением случайной величины X.
[править] Случайная выборка
Случайной выборкой объема n, отвечающей случайной величине X, c функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X1,X2,...,Xn, каждая из которых имеет распределение F(x)
[править] Источники
Математические основы теории прогнозирования
Материалы по курсу
Билеты (2009) | Примеры задач (2009) | Примеры задач контрольной работы (2013) | Определения из теории вероятностей
