Материал из eSyr's wiki.

---

Версия 17:54, 22 июня 2007

Содержание 1 Лекция 2 1.1 Задача 1 1.1.1 !!! Решение 1.2 Задача 2 1.2.1 Решение: 2 Лекция 4 2.1 Задача 3 2.1.1 Решение: 2.2 Задача 3,5 2.3 Задача 4 3 Лекция 7 3.1 Задача 5 3.2 Задача 6 3.3 Задача 7 4 Лекция 9 4.1 Задача 8 4.1.1 Решение 5 Лекция 11 5.1 Задача 9

Лекция 2

Задача 1

Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: ^(m3 − m)/₃.

 !!! Решение

Шаг	Действие	Количество действий на один элемент			Итоговое количество действий
		Вычитание	Умножение	Деление	Вычитание	Умножение	Деление
1: c1	b11 = a11	0	0	0	0	0	0
	c1j = a1j/b11, j = 1…m	0	0	1	0	0	m
2: b1T	bi1 = ai1, i = 1…m	0	0	0	0	0	0
3: c2	b22 = a22 − b21 × c12	1	1	0	1	1	0
	c2j = (a2j − b21×c1j)/b22, j = 2…m	1	1	1	m − 1	m − 1	m − 1
4: b2T	bi2 = ai2 − bi1×c12, i = 2…m	1	1	0	m − 1	m − 1	0
(2k − 1): ck	bkk = akk − Σl = 1k − 1 bkl×clk	1	k − 1	0	1	k − 1	0
	ckj = (akj − Σl = 1k − 1 bkl×clj)/bii, j = k + 1…m	1	k − 1	1	m − k + 1	(k − 1) × (m − k + 1)	m − k + 1
2k: bkT	bik = aik − Σl = 1k + 1 bil×clk, i = k + 1…m	1	k − 1	0	m − k + 1	(k − 1) × (m − k + 1)	0
Итого					∑k = 2m1 + 2∑k = 2m(m − k + 1) = (2m + 1)(m − 1)/2	∑k = 2m(k − 1) + 2∑k = 2m((k − 1) × (m − k − 1)) = (2m + 1)m(m − 1)/2	∑k = 1m(m − k + 1) = (m + 1)m/2

Задача 2

Показать, что ∑_j = 1^m(^{(m − j + 1)(m − j + 2)}/₂)  =  ^m(m+1)(m+2)/₆

Решение:

Докажем это по индукции.

Для m = 1 утверждение истинно.

Пусть для m = k:

∑_j = 1^k(^{(k − j + 1)(k − j + 2)}/₂)  = ^k(k+1)(k+2)/₆

Тогда для m = k + 1:

∑_j = 1^k + 1(^{(k − j + 2)(k − j + 3)}/₂)  = ^{(k + 2)(k + 1)}/₂ +  ∑_j = 1^k(^{(k − j + 1)(k − j + 2)}/₂)  = ^{(k + 2)(k + 1)}/₂ +  ^{k(k + 1)(k + 2)}/₆  = ^{(k + 2)(k + 1)(k + 3)}/₆

Лекция 4

Задача 3

H — вещественный, D > 0. Показать, что (^(D + D*)/₂ × x, x) = (Dx, x), ^(D+D*)/₂ > 0.

Решение:

(0.5 (D+D*) x, x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 D* x, x) ={D**=D}= (0.5 Dx, x) + 0.5(x, D x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 Dx, x) = (Dx, x)

Вещественность пространства нужна для коммутативности скалярного произведения.

Задача 3,5

С>0. Доказать, что существует σ>0: (Cx, x) >= σ||x||². (Это легко доказать, для самосопряженной матрицы, но здесь это не дано).

Задача 4

Доказать, что если A = A* > 0 ⇒ a_ii > 0, i = 1…m

Лекция 7

Задача 5

Показать, что λ₁ = lim_{n → ∞} (x_n⁽ⁱ⁾/x_{n + 1}⁽ⁱ⁾), i = 1…m

Задача 6

Показать, что λ₁⁽ⁿ⁾ − λ₁ = O(λ₁/λ₂).

Задача 7

Когда λ_l = lim_{n → ∞} (α + x_n⁽ⁱ⁾/x_{n + 1}⁽ⁱ⁾)

Лекция 9

Задача 8

Пусть C = B × A, B — ВПТФ, A — ВТФ. Доказать, что C — ВПТФ.

Решение

c_ij = ∑_k = 1^m b_ik a _kj  = {a_kj = 0, k > j}  = ∑_k = 1^j b_ik a _kj  = {b_ik = 0, k<i−1}  = ∑_k = i−1^j b_ik a _kj

при i > j + 1 c_ij = 0. Следовательно С - ВПТФ.

Лекция 11

Задача 9

Показать, что Интеграл от 0 до 1 t(t − 1/2)²(1 − t)dt = 1/120