Материал из eSyr's wiki.

Версия 14:56, 24 мая 2009

σ-алгебра

Совокупность множеств A называется Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \sigma</math алгеброй''': = Случайный эксперимент = '''Случайный эксперимент''' -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. = Случайная величина = '''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. '''Случайная величина''' — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве. ==Определение== Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})

— вероятностное пространство. Функция , измеримаяотносительно  и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной. 

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X): 1. Р(Ω)=1:

2. Р(А)>=0 для любого А€X;

3. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

Вероятностное пространство

Определение

Вероятностное пространство — это тройка , где

• — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
• — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Замечания

• Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
• Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
  Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Определение

Определение Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру на следующим образом:

Мера называется распределением случайной величины X.

Источники

http://ru.wikipedia.org