Методы Оптимизации, Теормин

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 17:21, 7 июня 2009; Tehhi (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение в теорию сложности
2 Основы линейного программирования
- 2.1 Определение озЛП. Принцип граничных решений. Алгебраическая и битовая сложность ЛП. Результаты о сложности для задач, близких к ЛП
- 2.2 Теорема о границах решений задач ЛП с целыми коэффициентами

Введение в теорию сложности

Индивидуальная и массовая задачи, кодировка задачи, алгоритм решения массовой задачи, временная сложность алгоритма.

Массовая задача $Π$ :

список свободных параметров;
формулировка свойств, которым должно удовлетворять решение задачи.

$Π$ есть множество индивидуальных задач $I \in \Pi$ . Индивидуальная задача получается, если всем параметрам присвоить конкретные значения.

Пусть E - конечный алфавит, а E* - множество слов в этом алфавите. Отображение e: $P \rightarrow E*$ называется кодировкой задачи П.

Алгоритм $A$ решает массовую задачу $Π$ , если для любой индивидуальной задачи $I \in \Pi$ :

$A$ применим к $I$ , то есть останавливается за конечное число шагов
$A$ дает решение $I$

Кодировка задачи P -- такое отобраение $e: P \rightarrow \Sigma^*$ , обладающее следующими свойствами:

Возможность однозначно декодировать, то есть у двух различных ИЗ не может быть одинаковых кодировок.
$e, e - 1$ -- полиномиально вычислимы
Кодировка не избыточна, то есть для любой другой кодировки $e 1$ , удовлетворяющей 1 и 2 условиям справедливо:

$\exists p(.): \forall I \in P |e(I)| < p(e_{1}(I))$

Язык массовой задачи -- это множество правильных слов, то есть слов, соответствующих ИЗ, имеющим положительный ответ(подразумевается задача распознавания): $L(\Pi, e) = e(Y(\Pi)) = \{s \in \Sigma^*| s = e(I), I \in Y(\Pi)\}$

Язык алгоритма -- множество слов, принимаемых $A$ , то есть таких, на которых алгоритм останавливается в состоянии $q Y$ , что соответсвует "да": $L(A) = \{\sigma \in \Sigma^* | A(\sigma) = q_Y\}$

Алгоритм $A$ решает массовую задачу $Π$ , с кодировкой $e$ , если $L (e,Π) = L (A)$

$t A (s)$ -- число шагов алгоритма $A$ для входа $s \in \Sigma^*$ .

Временная сложность $T_{A}(n) = max \{t_{A}(s)\}, s \in \Sigma^*, |s| < n$ .

Задачи распознавания свойств. Классы P и NP.

Задача распознавания свойств -- массовая задача, предполагающая ответ "да" или "нет", в качестве своего решения.

$D (Π)$ -- множество всех возможных значений параметров массовой задачи.
$Y (Π)$ -- множество всех индивидуальных задач, ответом на которые является "да".

Класс полиномиально разрешимых задач (P) -- это такие задачи, временной сложность алгоритма решения которых ограниченна полиномом:

$\exists A$ такой, что $A$ решает массовую задачу $Π$ с кодировкой $e$
$\exists p(\cdot)$ -- полином такой, что $T_A(n) < p(n)~~,~\forall n \in Z_{+}$

Примеры неполиномиальных задач:

алгоритмически неразрешимые задачи: такая, что A не применим к I, например,
- 10-я проблема Гильберта: по данному многочлену $g$ с целыми коэффициентами выяснить, имеет ли уравнение $g = 0$ целочисленное решение
задачи, для которых длина записи выхода превышает любой наперед заданный полином от длины входа
- найти все маршруты в задаче коммивояжёра

Класс недетерменированно полиномиальных задач (NP) -- это такие задачи, для которых существует алгоритм решения на недерменированной машине Тьюринга:

$\exists \hat{A}$ для НДМТ такой, что $\hat{A}$ решает массовую задачу $Π$ с кодировкой $e$
$\exists p(\cdot)$ -- полином такой, что $\hat{T}_{\hat{A}}(n) < p(n)~~,~\forall n \in Z_{+}$

Теорема об экспоненциальной временной оценке для задач из класса NP.

Для любой $\Pi \in NP$ существует ДМТ $A$ , решающая ее с не более чем экспоненциальной временной сложностью: $T_A(n) \leqslant 2^{p(n)}$ .

Класс co-NP. Пример задачи, допускающей хорошую характеризацию. Доказательство утверждения о взаимоотношении классов NPC и co-NP.

Дополнительная задача $\overline\Pi$ к массовой задаче $Π$ -- задача, получаемая из $Π$ путем введения альтернативного вопроса. То есть если в $Π$ спрашиваем "верно ли $x$ ", то в $\overline\Pi$ спрашиваем "верно ли, что $\neg x$ "

$D(\overline{\Pi}) = D(\Pi)$
$Y(\overline{\Pi}) = D(\Pi) \setminus Y(\Pi)$

Класс $co-P$ -- $\{\overline{\Pi} | \Pi \in P\}$

$co-P = P$ .

Класс $co-NP$ -- $\{\overline{\Pi} | \Pi \in NP\}$ .

$co-NP = N P$ пока не удалось ни доказать, ни опровергнуть.
$P \in NP \cap \text{co-NP}$

Массовая задача $Π$ допускает хорошую характеристику, если $\Pi \in \text{NP} \cap \text{co-NP}$

пример такой задачи -- это задача определения простоты числа.
$P \subseteq \text{NP} \cap \text{co-NP}$

Массовая задача $Π'$ с кодировкой $e'$ полиномиально сводится к задаче $Π$ с кодировкой $e$ , если любая индивидуальная задача $I' \in \Pi'$ может быть сведена за полиномиальное от её длины время к некоторой задаче $I \in \Pi$ с сохранением ответа.

Массовая задача $Π$ называется NP-полной (универсальной), если

принадлежит классу NP: $\Pi \in \text{NP}$
любая задача из NP полиномиально сводится к $Π$ : $\forall \Pi' \in \text{NP} ~~~ \Pi' \propto \Pi$

Класс NPC (NP-complete) -- множество всех NP-полных задач.

Критерий NP-полноты. Д-во NP-полноты задачи ЦЛН

Д-во NP-полноты задачи 3-выполнимость. NP-трудные задачи

Взаимоотношение классов P, NP и NPC, NP и co-NP. Класс PSPACE

Гипотеза. $\Pi \subseteq \text{NP} \cap \text{co-NP}$

Гипотеза. Если для некоторой NP-полной задачи $Π$ дополнительная к ней задача $\overline{\Pi} \in \text{NP}$ , то $NP = co-NP$

Класс PSPACE массовых задач -- класс алгоритмов, требующих не более, чем полиномиальной памяти.

Гипотеза. $\text{P} \subset \text{PSPACE}$ . При этом NP-полные, NP-трудные, NP-эквивалентные задачи $\subset \text{PSPACE} \setminus \text{P}$

Псевдополиномиальные алгоритмы. Пример для задачи о рюкзаке

Псевдополиномиальный алгоритм - полиномиальный алгоритм, проявляющий экспоненциальный характер только при очень больших значениях числовых параметров.

Пусть $M (I)$ -- некоторая функция, задающая значение числового параметра индивидуальной задачи $I$ . Если таких параметров несколько, в качестве $M (I)$ можно взять или максимальное, или среднее значение, а если задача вовсе не имеет числовых параметров (например, раскраска графа, шахматы и т.п.), то $M (I) = 0$ . Алгоритм называется псевдополиномиальным, если он имеет оценку трудоемкости $T m a x (I) = O (p ( | I | , M (I)))$ , где $p(\cdot, \cdot)$ -- некоторый полином от двух переменных.

Сильная NP-полнота. Теорема о связи сильной NP-полноты задачи с существованием псевдополиномиального алгоритма ее решения

Основы линейного программирования

Определение озЛП. Принцип граничных решений. Алгебраическая и битовая сложность ЛП. Результаты о сложности для задач, близких к ЛП

ЛП:

$(1) A x < = b, x = {x i}, i = 1... n$ , существует ли $x \in R^{n}$ , удовлетворяющий данной системе линейных неравентсв

озЛП:

найти такой $x \in R^{n}$ -- решение (1) и $d^{*} = max<c, x>, x \in R^{n}, Ax <= b$

Утверждение (принцип граничных решений). Если озЛП имеет решение, то найдется такая подматрица AI матрицы А, что любое решение системы уравнений AIx = bI реализует максимум c(x).

Алгебраическая сложность - количество арифметических операций.

Битовая сложность - количество операций с битами. Битовая сложность задач ЛП, ЛН полиномиальна.

Вопрос о существовании алгебраически-полиномиального алгоритма для ЛП остается открытым.

Теорема о границах решений задач ЛП с целыми коэффициентами

$d t (D) = m a x | d e t (D 1) |$ , где D_1 -- квадратная подматрица D

Если задача озЛп $d^{*} = max<c, x>, x \in R^{n}, Ax <= b$ размерности (n, m) с целыми коэффициентами разрешима, что у нее существует рацональное рашение $x *$ в шаре: $|| x^{*} || <= \sqrt{n} dt([A|b])$ и $d^{*} = \frac{t}{s}, t. s \in Z | s | <= dt(A)$