Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики

Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности

• x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T]
• δu/δt = δ²u/δx² + f(x, t) (1)
• u(0, t) = μ₁(t); u(1, t) = μ₂(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
• u(x, 0) = u₀(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)

Пункт 1. Явная разностная схема

• (y_i^{n + 1} − y_iⁿ)/τ = (y_{i + 1}ⁿ − 2y_iⁿ + y_{i − 1}ⁿ)/h₂ + f(x_i, t_j), (x_i, t_j) ∈ ω_τh (4)
• y₀^{n + 1} = μ₁(t_{n + 1}); y_N^{n + 1} = μ₂(t_{n + 1}), t_{n + 1} ∈ ω__τ (5)
• y_i⁰ = u₀(x_i), x_i ∈ ω__h (6)

y_i^{n + 1} = y_iⁿ + γ(y_{i + 1}ⁿ − 2y_iⁿ + y_{i − 1}ⁿ) + τf(x_i, t_n), n = 0, 1, …;y₀¹ = μ₁(t₁); y_N¹ = μ₁(t₁)

Разностная схема имеет много достоинств и недостатков. Она проста вреализации, но коварна: она условно-устойчива. Он сходится при жёсткой зависимости размеров шагов: γ = τ/n²

Почти все явные схемы являются условно устойчивыми.

Выяснение погрешности и сходимости

Вводится сеточная функция:

z_iⁿ = y_iⁿ − u_iⁿ — погрешность разностной схемы.

u_iⁿ = u(x_i, t_n), ||zⁿ|| → 0, n → ∞; n, τ → 0.

Будем доказывать в сильной норме — в норме C: ||zⁿ|| = ||zⁿ||_C = max_{0 ≤ i ≤ N} |z_iⁿ|

y_iⁿ = z_iⁿ + u_iⁿ

(z_i^{n + 1} − z_iⁿ)/τ = (z_{i + 1}ⁿ − 2z_iⁿ + z_{i − 1}ⁿ) + ψ_iⁿ; (x_i, t_n) ∈ ω_τh (7)

• z₀^{n + 1} = 0, z_N^{n + 1} = 0, t_n ∈ ω__n
• ψ_iⁿ = (u_{i + 1}ⁿ − 2u_iⁿ + u_{i − 1}ⁿ)/h² + f(x_i, t_n) − (u_i^{n + 1} − u_iⁿ)/τ (8)

Определение. Сеточная ф-ция (8) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4)—(6) на решение задачи (1)—(3).

Задача. Доказать, что ψ_iⁿ = O(τ + h²).

Уравнение для погрешности то же, за исключением граничных усолвий (он нулевые для задачи первого рода).

Сходимость

z_i^{n + 1} = z_iⁿ + γ(z_{i + 1}ⁿ − 2z_iⁿ + z_{i − 1}ⁿ) + τψ_iⁿ, γ = τ/h² (9)

• z₀^{n + 1} = 0, z_N^{n + 1} = 0, z_i⁰ = 0
• γ ≤ 0,5 (10)

Жёсткое это условие? Да. Если взять h = 10^&minus2, &rtau; ≤ 0,5 × 10^−2, t = 1 ⇒ 20000 шагов, и это только для одного измерения.

• z_i^{n + 1} = (1 − 2γ)z_iⁿ + γ(z_{i + 1}ⁿ + z_{i − 1}ⁿ) + τψ_iⁿ
• |z_i^{n + 1}| ≤ (1 − 2γ)|z_iⁿ| + γ(|z_{i + 1}ⁿ| + |z_{i − 1}ⁿ|) + τ|ψ_iⁿ|
• |z_i^{n + 1}| ≤ (1 − 2γ)||zⁿ||_C + γ(||zⁿ||_C + ||zⁿ||_C) + τ||ψⁿ||_C, i = 1…N − 1
• ||z^{n + 1}||_C ≤ ||zⁿ||_C + ε||ψⁿ||_C
• ||z^{n + 1}||_C ≤ ||z⁰||_C { = 0 } + τ∑_{k = 0}ⁿ||ψⁿ||_C (11)
• ||z^{n + 1}||_C ≤ τ∑_{k = 0}ⁿ||ψⁿ||_C
• ∃ m > 0: ||ψ^k||_C ≤ M(τ + h²), M не зависит от τ и h
• ||z^{n + 1}||_C ≤ M(τ + h²)∑_{k = 0}ⁿ τ = Mt_n(τ + h²)
• t_n ≤ T
• ||z^{n + 1}||_C ≤ M₁(τ + h²), M₁ = M × T не зависит от τ и h
• τ, h → 0: ||z^{n + 1}|| → 0 ||yⁿ − uⁿ||_C → 0

Устойчивость

• ||y^{n + 1}||_C ≤ ||u₀||_C + τ∑_{k = 0}ⁿ||f^k||_C (12) — априорная оценка и означает устойчивость решения по нач условию и по правой части. Наличие апр оценки и только её означает наличие устойчивости линейной разностной схемы.

Необходимость. Рассмотрим однор систему уравнений, соответствующую нашей задаче. Покажем, что общее решение неоднородной будет возрастать. Тогда и всё будет возрастать.

• (y_i^{n + 1} − y_iⁿ)/τ = (y_{i + 1}ⁿ − 2y_iⁿ + y_{i − 1}ⁿ)/h₂ (13)
  • y_оⁿ = q × e^ijhφ
  • i² = −1, q ∈ C, &phi ∈ R
• q = 1 + γ(e^ihφ − 2 = e^−ihφ) = 1 + γ(2cos hφ − 2) = 1 + 2γ(cos hφ − 1) = 1 − 4γsin² hφ/2
• |q| > 1: y_iⁿ → ∞
• 1 − 4γsin² hφ/2 < 1
• 4γsin² hφ/2 > 2
• γ > 1/2

Из этого следует, что данная разностная схема условно устойчива и условна сходящаяся.

Пункт 2. Чисто неявная разностная схема (схема с опережением)

Исходная задача (1)—(3) остаётся.

• (y_i^{n + 1} − y_iⁿ)/τ = (y_{i + 1}^{n + 1} − 2y_i^{n + 1} + y_{i − 1}^{n + 1})/h₂ + f(x_i, t_{n + 1}), (x_i, t_{n + 1}) ∈ ω_τh (4)
• y₀^{n + 1} = μ₁(t_{n + 1}); y_N^{n + 1} = μ₂(t_{n + 1}), t_{n + 1} ∈ ω__τ (5)
• y_i⁰ = u₀(x_i), x_i ∈ ω__h (6)

Шаблон:

• y_i^{n + 1} = y_iⁿ + γ(y_{i + 1}^{n + 1} − 2y_i^{n + 1} + y_{i − 1}^{n +1}) + τf(x_i, t_{n + 1})
• γy_{i − 1}^{n +1} − (1 + 2γ)y_i^{n + 1} + γy_{i + 1}^{n + 1} = −(y_iⁿ + τf(x_i, t_{n + 1})), i = 1, 2, …, N − 1

Тут надо использовать прогонку.

Это матрица со строгим диагональным преобладанием.

• Решение надо находить методом прогонки

Докажем сходимость: вводим сеточную функцию погрешности

• z_iⁿ = y_iⁿ − u_iⁿ — погрешность разностной схемы.
• (z_i^{n + 1} − z_iⁿ)/τ = (z_{i + 1}^{n + 1} − 2z_i^{n + 1} + z_{i − 1}^{n + 1}) + ψ_iⁿ (7)
• z₀^{n + 1} = 0, z_N^{n + 1} = 0, z_i⁰ = 0
• ψ_iⁿ = (u_{i + 1}^{n + 1} − 2u_i^{n + 1} + u_{i − 1}^{n + 1})/h² + f(x_i, t_{n + 1}) − (u_i^{n + 1} − u_iⁿ)/τ

Задача. Доказать, что ψ_iⁿ = O(τ + h²).

||z^{n + 1}||_C = max_i0 |z_i0ⁿ|

• z_i0^{n + 1} = z_i0ⁿ + γ(z_{i0 + 1}^{n + 1} − 2z_i0^{n + 1} + z_{i0 − 1}^{n + 1}) + τψ_i0ⁿ
• (1 + 2γ)z_i0^{n + 1} = z_i0ⁿ + γ(z_{i0 + 1}^{n + 1} + z_{i0 − 1}^{n + 1}) + τψ_i0ⁿ
• (1 + 2γ)|z_i0^{n + 1}| ≤ ||zⁿ||_C + 2γ||z^{n + 1}||_C + τ||ψⁿ||_C
• (1 + 2γ)||z^{n + 1}||_C ≤ ||zⁿ||_C + 2γ||z^{n + 1}||_C + τ||ψⁿ||_C

//ну задолбался я писать...