Численные Методы, 15 лекция (от 03 апреля)
Материал из eSyr's wiki.
Предыдущая лекция | Следующая лекция
Содержание |
Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики
Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности
Пункт 3. Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсена)
δ2u/δx2 + f(x, t) (1)
- u(0, t) = μ1(t); u(1, t) = μ2(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
- u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)
- yx_x, im = (yi + 1m − 2yim + yi − 1m)
- (yin + 1 − yin)/τ = 0,5(yx_x, in + 1 + yx_x, in) + f(xi, tт + 1/2), (xi, tj) ∈ ωτh (4)
- y0n + 1 = μ1(tn + 1); yNn + 1 = μ2(tn + 1), tn + 1 ∈ ω_τ (5)
- yi0 = u0(xi), xi ∈ ω_h (6)
Шаблон (типа ящик)
Эта схема неявная. Решается она так же, как и чисто неявная схема — методом прогонки.
Сходимость будем рассматривать среднеквадратичную, а не в С, ибо в С очень сложно. Будем использовать новый аппарат. Ради чего напрягаться? Оказывается, эта схема имеет второй порядок и по тау, и по h, то есть лучше. Сегодня освоим аппарат Фурье метода оценок, и его тоже можно здесь применить. Можно строить функцию Грина, можно энергетическими неравенствами. Способов очень много методов оценок.
Погрешность
zin = yin − uin
- (zin + 1 − zin)/τ = 0,5(zx_x, in + 1 + zx_x, in) + ψin
Здесь принципиально, как брать, и это принципиально, иначе не получим второй порядок.
- z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, zi0 = 0
- ψin = (ux_xn + 1 + ux_xn) + f(xi, tn + 1/2) − (uin + 1 − uin)/τ (8)
Задача. Доказать, что ψin = O(τ2 + h2).
Задача Штурма-Лиувилля
- δ2u/δx2 + λu(x) = 0, 0 < x < 1 (9)
- u(0) = u(1) = 0, u(x) !== 0
- λ — собственное значение, u(x) — собственная функция
- &lambdak = (πk)2, k = 1, 2, …
- 0 < &lambda1 < λ2 < λk < …
- uk(x) = sqrt(2)sin πkx
- {uk(x)}1∞ — ортонормированный базис
- f(x) ∈ L2(0, 1)
- интеграл от 0 до 1 f2(x) dx < infin;,
...
||f||L22 = ∑k = 1∞ ck2 — уравнение Парсеваля Разностная задача Штурма-Лиувилля
{ | yx_x, i + λyi = 0, xi ∈ ω_h | (10) |
y0 = yN = 0 |
- yi + 1 − 2yi + y0i − 1 + λh2yi = 0
- yi + 1 + yi − 1 − (2 − λh2)yi = 0
- yi = sin αxi ≠ 0
- yi + 1 = sin α(xi + h) ≠ 0
- yi − 1 = sin α(xi − h) ≠ 0
- yi + 1 + yi − 1 = sin (αxi + αh) + sin (αxi − αh) = 2sin αxi cos αx
- 2cos αh sin αxi − (2 − λh2)yi = 0
- 2cos αh − 2 + λh2 = 0
- λ = 2(1 − cos αh)/h2 = 4/h2sin(αh/2)
- λk = 4/h2 sin2 πkh/2, k = 1…N − 1
- yk(xi) = sqrt(2) πkxi, xi ∈ ωh, k = 1…N − 1
равенство Парсеваля: dim HN − 1 = N − 1, y0 = yn = 0
f, g ∈ HN − 1, (f, g) = &sum ;i = 1N − 1 figih
- ||f||L2(ωn) = ||f||L2 = (f, f)1/2 = ∑i = 1N − 1fi2h
- (yk(xi) yl(xi)) = δk, l
- f(xi) = ∑k = 1N − 1 ckyk(xi)
Тождественно обозначим: yk(xi0 = μk(xi)
- ||zn||L2(ωn) → 0, &tau, h → r
- zin = ∑k = 1N − 1 ck(tn)μk(xi)
- ψin = ∑k = 1N − 1 ψk(tn)μk(xi)
- ∑k = 1N − 1 (ck(tn + 1) − ck(tn))/τ × μk(xi) = 0,5 ∑k = 1N − 1(ck(tn + 1) + ck(tn))μx_x, ik + ∑k = 1N − 1 ψk(tn)μk(xi)
- ∑k = 1N − 1 ((ck(tn + 1) − ck(tn))/τ + 0,5λk(ck(tn + 1) + ck(tn)))μk(xi) = ∑k = 1N − 1 ψk(tn)μk(xi)
- (ck(tn + 1) − ck(tn))/τ + 0,5λk(ck(tn + 1) + ck(tn)) = ψk(tn)
- ck(tn + 1) − ck(tn) + 0,5τλk(ck(tn + 1) + ck(tn)) = τψk(tn)
- (1 + 0,5τλ)ck(tn + 1) &minus (1 − 0,5τλ)ck(tn) = τψk(tn)
- ck(tn + 1) = (1 − 0,5τλ)/(1 + 0,5τλ) × ck(tn) + τ/(1 + 0,5τλ)ψk(tn)
- qk = (1 − 0,5τλ)/(1 + 0,5τλ)
- |qk| < 1
- zin + 1 = ∑k = 1N − 1(qkck(tn) + τ/(1 + 0,5τλ)ψk(tn))μk(xi) = ∑k = 1N − 1qkck(tn)μk(xi) + ∑k = 1N − 1τ/(1 + 0,5τλ)ψk(tn)μk(xi)
- vin = ∑k = 1N − 1qkck(tn)μk(xi)
- ωin = ∑k = 1N − 1τ/(1 + 0,5τλ)ψk(tn)μk(xi)
- zin + 1 = vin + ωin
- ||zn + 1||L2(ωn) = ||vn||L2(ωn) + ||ωn||L2(ωn)
- ||vn||L2(ωn) = ∑k = 1N − 1qk2ck2(tn) ≤ ∑k = 1N − 1ck2(tn) = ||zn||L2(ωn)
- ||ωn||L2(ωn) ≤ τ2||ψn||L2(ωn)
- ||zn + 1||L2(ωn) ≤ ||zn||L2(ωn) + τ||ψn||L2(ωn)
Получили ту же самую формулу, что и в прошлый раз, следовательно, её можно сделать рекуррентной.
Мы не использовали связь шагов, поэтому сходимость абсолютная.
- ||zn + 1||L2(ωn) ≤ ||z0|| { = 0 } + ∑j = 0n τ||ψn||L2(ωn)
- ψin = O(τ2 + h2)
- ∃ M ≥ 0 не зависит от τ и h
- ||ψn||L2(ωn) ≤ M(τ2 + h2)
- ||zn + 1||L2(ωn) ≤ M(τ2 + h2)∑j = 0n τ = Mtn(τ2 + h2) ≤ MT(τ2 + h2)
- ||zn + 1||L2(ωn) ≤ M1(τ2 + h2), M1 не зависит от τ и h
Оценка устойчивости
Если бы мы рассматривал нашу оценку и при нулевых краевых условиях, то мы бы получили совершенно аналогично:
- ||yn + 1||L2(ωn) ≤ ||u0||L2(ωn) + ∑j = 0n τ||f(t)||L2(ωn) — априорная оценка, означающая устойчивость
Симметричная схема обладает более высоким порядком точности, но мы её доказали пока только для среднеквадратичной схемы.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Календарь
|
|
|
Дополнительная информация |
Материалы к экзамену |