Функциональный Анализ, 03 лекция (от 21 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

E₁, E₁[f ≥ a] = E[f ≥ a] ∩ E₁,

Если E = ∪_{h = 1;}^&infin E_n, E[f ≥ a] = ∪_{h = 1;}^&infin E_n[f ≥ a]

Определение 2. Две функции f и g назыаются эквивалентными, если мера множества, на котором они совпадают, равна 0. Обозначается f(x) ~g(x)

Теорема. Если f(x) измерима на измеримом Е, то и любая ей эквивалентная функция измерима на этом множестве.

Доказательство. E = E1 ∪ E2, E1 = E[f = g], E2 = E[f ≠ g] |E2| = 0 → |E1| = |E|

Определение 3. Какое-либо свойство выполняется почти всюду на измеримом множестве Е, если оно не выполняется на каком-нибудь подмножестве множества Е меры 0.

Классы измеримых функций

Теорема. Если ф-ция f(x) почти всюду непрерывна на измеримом множестве Е, то она измерима на этом множестве

Лемма. Любая непрерывная функция измерима на замкнутом множестве.

Доказательство.Возьмём последовательность xn, которые сходятся к x. Докажем, что x принадлежит множеству: f(xn) ≥ a → f(x) ≥ a → x ∈ F[f ≥ a]

Доказательство теоремы. E = E1 ∪ E2, |E1| = 0. Из теоремы 8 параграфа 2 следует, что E~ принадлежит E2 |E~| = |E2|,

Замечание. Почти всюду непр. следует отличать от эквив. непр. Пример --- функция Дирихле, которая всюду разрывна, но эквивалентна непрерывной функции.

Свойства измеримых ф-ций

Теорема 1. Пусть f(x) измерима на E. тогда |f(x)|, f(x) + C, C×f(x) измерима на E. Если g(x) измерима на Е, то E(f > g)измерима.

Доказательство.

• E[|f| ≥ a] = E[f ≥ a] ∪ E[f ≤ −a], a > 0
• E[|f| ≥ a] = E, a ≤ 0

• E[f + c ≥ a] = E[f ≥ −C + a]
• E[Cf ≥ a] = E[f ≥ a/C], c > 0, E[f ≥ q/c], c < 0, cf == 0, c = 0

• E[f > g] = ∪_k=1^∞ E[f ≥ rk] ∩ E[g < rk]

Теорема 2. f(x) и g(x) измеримы на Е, f(x) {+|−|×|÷} g(x) измеримы.

Доказательство. Для сложения, вычитания, умножения (fg = ¼ (f +g)^2 − 1/4(f − g)^2) очевидно.

Деление: 1/g измерима:

E[1/g > a] = E[g > 0] ∩ E[g < 1/a], a > 0$ E[g > 0], a = 0 $ E[g > 0] ∪ E[g < 1/a], a < 0.

Далее воспользуемся умножением.

Теорема 3. f_n(x) --- последовательность измеримых функций на Е. Тогда f- = нижний предел при n → ∞ и f_ также измеримы на Е.

Доказательство. φ(x) = inf_n f_n(x), ψ(x) = sup_n f_n(x)

• E[φ < a] = ∪_n=1^∞ E[f_n < a]
• E[ψ > a] = ∪_n=1^∞ E[f_n > a]

Вспомним первый курс, что такое нижний предел:

• f_ (x) = sup_n≥1{inf_k≥n f_k(x)}
• f- (x) = inf_n≥1{sup_k≥n f_k(x)}

Теорема 4. Е --- измеримое множество, fn(x) --- последователь измеримых функций на Е, которые сходятся почти всюду к f(x), тогда f(x) --- измеримая функция.

Доказательство. Е --- объедиение двух множеств, где сходится (тогда см. теорему 3) и где нет (тут мера равна 0).

Определение 4. Сходимость по мере. Пусть Е --- измеримое множество. Последовательность f_n(x) состоит из измеримых, почти всюду конечных функций. Говорят, что такая посл. сходится к измеримой почти всюду конечной f(x) по мере, если: ∀ ε > 0 lim_n→∞ |E[|f_n − f| ≥ ε] = 0. Другими словами, для любого эпсилон и дельта больше нуля ∃N = N()&esilon; δ, n ≥ N, |E[|f_n − f] ≥ ε < δ

Сочетание сходимостей почти всюду и по мере

Теорема 5. Пусть измеримое множество Е конечно: |E| < +∞. Пусть последовательность f_n(x) измеримых на Епочти всюду конечных функций сходится почти всюду к измеримой почти всюду конечной функции f_(x). Тогда f_n(x) → f(x) по мере.

Грубо из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере.

Пример, доказывающий необходимость условия конечности меры: E = R, f_n(x) = 1, x ∈[n, n+1]; 0, x ∈ E \ [n, n+1]. f(x) = 0, |E[|f_n − f| ≥ 1/2]| = 1. В каждой точке сходится к 0, но сходимости по мере нет. Один из вопросов, которые лектор не прощает.

Введё мтакие множества: A = E[|f| = +∞], A_n = E[|f_n| = +∞], B = E|E[lim_n→∞ f_n(x) = f(x)], C = A ∪ B ∪ [∪_n=1^∞ Aqn], |C| = 0

Лектор не поимает, зачем нужен этот столб (кафедра), чтобы все напрягались? Или, чтобы держать бутылку и... или почему розетку надо удалять на 60 сантиметров, а не на 60 e/π? Недавно лектор поздравил ученицу с тем, что ей e^3 лет.

∀ ε > 0: E_n = E[|f_n – f| ≥ ε]

• R_n = ∪_k=n^∞ E_k, |E_n| ≤ |R_n|
• R = ∩_n=1^∞ R_n, |Rb| → |R|
• R_n \ R = ∪_k=n^∞ (R_k \ R_k+1)
• эти множества не пересекаются, поэтому мера объекдинения сумма мер
• |R_1 \ R| = ∑_k=1^∞ |R_k – R_k+1|

в силу конечномерности этот ряд сходящийся, остаток стремится к 0, и:

• R_n = R ∪ (R_n \ R) ↔ |R_n| → |R|

Осталось доказать, что мера R равна 0. Возьмём x_0 ∉ C. Тогда ∀ ε > 0, ∃N = N(x_0, ε), ∀n ≥ N, |f_n – f| <ε. Это означает, что x_0 ∉ E_N, n ≥ N, а значит, x_0 ∉ R_n, а значит, x_0 ∉ R. Отсюда |R| = 0.

А следует ли из сходимости по мере сходимость почти всюду. Нет, и во втором курсе был контрпример.

Возьмём отрезки вида [k-1/2^n, k/2^n]:

• I_1 = [0, 1];
• I_2 = [0; ½]; I_3 = [½; 1]
• I_4 = [0; ¼]; ...

f_n(x) = {1 на I_n, 0 вне I_n}. Тогда для любой точки x найдутся как n, для которых f_n(x) = 1, так и f_n(x) = 0. Но при этом есть сходимость по мере к f == 0.

Предыдущую формулу иногда называют теоремой Лебега.

Есть одно слово, которое на одном из языков, русском или украинском пишется с одной с, а на другом с двумя. Это можно на бутылочных этикетках посмотреть.

Теорема 6 (теорема Рисса). Е --- множество конечной меры, f_n --- множество измер. почти всюду конеч. ф-ций сходится по мере к f, тогда из неё можно выделить подпоследовтаельность, которая сходится к f_x почти всюду.

Доказательство. Определим E_k = E[f_n_k – f ≥ 1/k], тогда для любого k найдётся такое n_k, что |e_k| < 1/2^k.

Далее R_n = ∪_k=n^∞ E_k; |R_n ≤ &Sum;_k=n^∞|E_k| < 1/2^n-1 → 0$ R = ∩_n=1^∞ R_n; |R_n| → |R|; |R| = 0

Далее выбрасываем R и доказываем, что всюду вне R есть сходимость.

Пусть x_0 ∉ R. Тогда найдтся n: x_0 ∉ R_n; x_0 ∉ E_k, k ≥ n, тогда |f_n_k(x_0) – f(x_0)| < ½, n_k ≥ n, а это означает, что в x_0 сходится, следовательно, везде вне R сходится.

Теорема 7. Е --- изм. мн-во конеч. меры, посл-то f_n(x) измеримых почти всюду конечных ф-ций, к-рые сходятся по мере к f(x) и g(x), тогда f(x) ~ g(x).

Доказательство. E[|f – g| ≥ &epsion;] ∈ E[|f_n – f| &ε/2] ∪ E[|f_n – g| &ε/2] . Меры двух множеств справа стремятся к 0 (из сходимости по мере). Тогда и мера множества слева стремится к 0. E[f ≠ g] ∉ ∪_n=1^∞ E[|f – g| ≥ 1/n]. Так как мера любого множества справа равна нулю, то и мера множества слева равна 0.