Функциональный Анализ, 09 лекция (от 02 ноября)

Материал из eSyr's wiki.

[править] Непрерывность линейного оператора

Определение 3. Оператор А, действующий из линейного норм. пр-ва X в лин. норм. пр-во Y, если для всех x ∈ X выполняется неравенство ||Ax||_Y ≤ M||x||_X.

Теорема 2. Для того, что бы А из X в Y был ограниченным, н. и .д., чтобы он был ограниченным.

Доказательство. Необходимость: пусть существует пространство, в котором ∃ {x_n}: ||Ax||_Y ≥ n||x_n||_X. Пусть x_n ≠ 0. Возьмём,ξ_n = x_n / n ||x_n||, тогда ||ξ_n|| = 1/n → 0, ||Aξn|| = ||Ax_n||/n||x_n|| ≥ 1 → перечёркнуто 0.

Достаточно. ||Ax_n − Ax_0|| = ||A(x_n − x_0)|| ≤ M||(x_n − x_0)||

отсюда чтд.

||A|| = sup_x ≠ 0 ||Ax||/||x||