ОКФиКВ, 03 лекция (от 27 февраля)
Материал из eSyr's wiki.
Диктофонная запись второй части лекции: http://esyr.org/lections/audio/quantphys_2008_summer/QP_08_02_27.ogg Лекция 3.
Темы
- Финитные и инфинитные движения. Дискретные и непрерывные энергетические спектры. Движение частицы в одномерной потенциальной яме. Дискретность энергетических спектров. Приближение двухуровневой системы. Эффект тунелирования через барьер. Движение в периодическом потенциальном поле.
Если движение совершается без граничных условия (т.е. от до ) то движение называется инфинитным. Если движение происходит в ограниченной области, то движение финитно.
Примеры:
- Свободное движение.
Потенциальная энергия U = const. Положим U = 0.
Уравнение Шредингера:
(это частный случай уравнения Шреднигера!)
Эта формула верна и в общем случае (без доказательства).
- В прямоугольной потенциальной яме
(см. картинку на первой фотографии доски)
Впервые мы сталкиваемся со случаем финитного движения.
При получаем сложную математическую задачу. Мы будем рассматривать случай .
Слева и справа действуют бесконечные силы, не выпускающие частицу из ямы.
Мы должны поставить математические условия к тому, что частица не проникает сквозь стенки ямы. Ψ( − a / 2) = Ψ(a / 2) = 0. Посмотрим, какой спектр получается в этом случае. Теперь мы должны решать уравнение Шредингера. У нас здесь три области. Когда решается задача с конечной глубиной, трудность в решении для каждой области, а потом сшивать их. Тут проще потому, что в области 1 и 3 ... равно 0. А в области 2 случай ничем не отличается от свободного движения чатицы. В области 1 и 3 волновая функция 0, а в области 2 это . Тогда получается вот какая картина: надо брать суперпозицию этих функций. Частным решением является каждая из функций, общим решением является супрерпозиция функций:
(решение должно быть действительным)
Но есть ещё одно решение:
Чему равняется k? Лектор ещё раз запишет уравнение Шредингера в области 2, и теперь он просто подставляет Ceikx.
k зависит от энергии. Если энергия задана, то . Граничные условия у нас 0, значит, cos обращается в 0 здесь, здесь, и . Соответственно, cos обращается в 0 в дискретных точках. То есть, мы получаем квантование вектор k в результате граничных условий. Не все значения удовл граничным условиям, отсюда и получается квантование. Каждому этому значению k соответствует энергия, получаем квантованный спектр энергий, в данном случае дискретный квантованный спектр энергий.
Чтобы сделать заключение, исследуем второй случай.
Ставим граничное условие: равенство 0 на границе опять же приводит к квантованию вектора k:
Теперь мы можем резюмировать наши результаты. Наличие граничных условий приводит к дискретному энергетическому спектру и дискретному набору волновых функций. Лектор их выпишет:
Вот результат математических исследований --- решения уравнения Шредингера. Каки реузльтаты получаем: интересный эффект --- квантовый параллелизм. Он является следвтвием принципа суперпозиции. В обычной механике шар может лететь либо вперёд, либо назад. А в квантовой механике мы имеем решение: ... --- две волны, напр. противоположно друг другу. Но мы же стационарное решение нашли. А если подставить общее? Какой вид будет иметь полное решение тогда?
Тогда ясно, что эти 2 волны распространяются в разных нправлениях. Фиксируете фазу, ддиф. по t, и получаете: ... . Мы впервые столкнулись с квантовым параллелизмом, в котором частица обл. обпр. импульсом. Это суперпозиц. сост. Характеристики суперпозиц. сост. неопределены. Нарисуем график: просто косирнус, n = 2, первое возбужденное состояние, это нечетная функция. И, соответственно, уровни энергии: .... . И дальше, по мере возрастания n, дальше мы получаем, что уровни расходятся, En˜n2, следовательно, расстояние пропорционлаьно n. Что главное: энергетический спектр при наличии граничных условий становится дискретным. В квантовой механике получаем дискретные состояния, и благодаря этому возм. квантовые вычисл. Интуиция подсказывате, что чтобы реализ бит, нужна система с двумя состояниями. Если оставим два уровня, то это и есть кубит. Но есть отличие: он может находиться в суперпозиционном состоянии, давая экспоненциально большой выигрыш, и преимущества квантового компьютинга сидят в самой квантовой механике. В классической механике непрерывный энергетический спектр. А где появляются обертона? Скрипач изменяет длину волны, изменяется звучания. Изменяются граничные условия. Граничные условия приводят к квантованию. k квантовано, может принимать разрешенные значения, и каждому значению k соответствует свой уровень энергии En. Дискретный энергетический спектр. Будет ещё один --- зонный спектр.
Теперь качественно обсудим те изменения, которые произойдут в случае реальной ямы. У нас есть аппарат, и даже не решая, мы можем сделать выводы. С чего начинаем: с записи гамильтониана. В области 2 ничего не меняется, уравнение Ш. такое же. А теперь в области 3: в обл. 3 нужно учесть U0, и получаем:
Теперь, какое соотношение между U0 и E? Нас будет интересовать связанное движение, и каждый ответит, что E < U0? Чтобы движение было связным
Это и будет вероятность просачивания/прохождения/туннелирования. Эффект туннелирования очень часто встречается в физике. При распаде идёт эффект туннелирования. Мы дома сталкиваемся с эффектом туннелирования. Например, если мы имеем контакт двух окисленных проводов. Электроны встречают слой диелектрика, и туннелируют. При этом возрастает сопротивление. Это простейший пример эффекта туннелирования.
Осталось полчаса, и лектор хотел бы перейти к движению частицы в периодическом потенциале, но сначала лектор устроит проверочку.
Очень интересный и важный тип движкения. Предыдущий тип движения тоже очень важный тип, как пример --- движение электрона в атоме, там кулоновская яма. Тут жен примером является движение электрона в кристалле.
Ничего нового в подходе не езобретаем и изобрести не можем, действуем по схеме. КМ --- набор рецептов. Вот мы решили уравн Ш., и говорим, волна бежит сюда, волна бежит сюда, берём суперпозицию. Но где масса электрона? На этот вопрос КМ не отвечает, в первом постулате говорится. Это не вопрос КМ, КМ его отметает. Ни наа что другое КМ не претендует. Это от\дна из причин, по которой многие не удовлетворены КМ.
Ставим задачу. Есть у нас кристалл --- периодическое чередование атомов. Вообще, там трёхмерное движение, но мы рассм. одномер. движение. Получается такой одномерный кристалл. Ионы в кристалле создают периодический потенциал u(x). Главное что --- при приближении электрона к ядру его потенциал уменьшается. Важным оказывается только одно обстоятельство: периодичность движения. И мы отражаем эту периодичность такой формулой: ... . Эта функция, которая вляется периодической, может быть разложена в ряд Фурье таким образом ... . Вот всё, что мы можем. А, мы ещё можем записать гамильтониан: ... . Это довольно сложная задача. Но в общем виде можно получить качественное решение. Как мы будем рассуждать? Представьте: кристалл, периодическая структура, влетает в кристалл волна. Что будет происходить с волной, когда она входит в период. структуру. Тот, кто изучал волну, скажет, что происходит дифракция, рождаются дифрагированные волны. Вот это и будет волновое поле электрона в кристалле. Построим волновой пакет --- сумму волн. Теперь у нас есть решение: ... . Леткор просто подставил разложение потенциала в уравнение. Отсаётся вопрос, что такое ek' --- это энергия возмущённого электроном кристалла (?). Теперь преобразуем его следующим образом --- умножим на e-ikx и проинтегрируем. ЛЕктор запишет результат: ... . Что же отсюда следует: если мы запускаем волну, то в результате дифракции появляются дифрагированные волны, сдвинутые на некоторую обратную решётку. Это означает, что в этом пакете не будет никаких волн кроме исходных волн и сдвинутых. Только такие волны должны фигурировать в пакете. Давайте запишем этот волновой пакет. ... . Это и есть решение ур. Ш. Конечно, мы его не решили, мы предугадали форму. Но так оно и есть. Придадим ему канонический вид. ... Это и есть решение решение ур. Ш. Это волна, аплитуда которой промодулирована. Какими свойствами она обладает:
- ... явл. периодической функцией с периодом решётки
- ... явл. периодической функцией ....
Функция ψk называется функцией Блоха или блоховской функцией. Этот результат явл. сутью теоремы Блоха: волна в кристале имеет блоховский вид
Основы квантовой физики и квантовых вычислений
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
Календарь
Февраль
| 13 | 20 | 27 | ||
Март
| 05 | 12 | 19 | 26 | |
Апрель
| 02 | 09 | 16 | 23 | 30 |