Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_02_25.ogg

Греческое чудо и возникновение греческой математики

В какой момент и в связи с чем возникла греческая математика? И можно ли о таком моменте говорить. На первый взгляд, такого момента обнаружить не можем, поскольку в любой культуре, которую можно соотнести как человеческую, можно обнаружить нечто, что можно назвать математикой. Тем более это касается всех древних культур. Поэтому, ответ на вопрос, в какой момент возникла математика, зависит от того, что мы можем признать математикой. Орнаменты, где прослеживается регулярность и симметрия? Вряд ли, скорее протоматематика. А расчёты? Математика или нет? Тут отвечают, что прикладная математика. Так что всё не очень просто.

Сейчас лектор попробует предложить ..., которой он будет придерживаться. Он предполагает, что это древняя греция, 5 — 3 вв до н. э. С исторической точки зрения это крошечный период, и в это время появляется то, что является математикой. Почему лектору представляется, что такой ответ оправдан? Первая причина: слово математика — греческое, и эта вещь достаточно серьёзная, в 20 веке обнаружили, что наш способ мышления связан с языком, и в связи с этим возникла тенденция в связи с языком понимать то, что мы говорим. Здесь можно впасть в крайность, но это достаточно серьёзно. Что так стали называть, откуда это берётся? И попытка это понять ведёт в обозначенный временной перирод. Ещё одно: дело в том, что когда мы говорим о математике, по крайней мере, ещё несколько веков назад это было 100-процентно так, мы имели в виду конкретный текст, это Начала Евклида. Ситуация начала серьёзно меняться только в 19 веке. До этого математика ассоциировалась с этим в первую очередь. Понятно, что это не единственный текст, но так случилось.

Два слова про Начала: изначально Стахея ассоциировались с языком, это так называемые элементы: звуки, буквы. Текст строится из букв — классич. образ стахеи. Когда дальше стали изучать мир, то оно ... . Аристотель скажет про всех философов до него, тем, что они занимались, тем, что искали начала и элемент всего. ... То же самое и в латыни: элемент — л, м, н — буквы. Но, во всяком случае, здесь идёт речь о первичном наборе, из которого строится всё остальное. И Стахея в названии Евклида отсылает к чему-то подобному. Он идёт от первичных арифметических, геометрических элементов, и в последних книгах строятся платоновы тела. Если полагать, что Евклид связан с платонический традицией, то надо вспоминать диалог ..., где именно эти 5 самых правильных многогранников рассматриваются как основа чувственного восприятия мира.

Дело в том, что именно это произведение было образцом понимания того, что такое математика. По нему учились. И сейчас, если взять учебники элементарной геометрии первой половины 20-го века, то они основываются на Началах. Что в первую очередь поражало в тексте Евклида: то, что в последствии стали называть дедуктивной структурой. И действительно, книга начинается с недоказуемых положений: оперделения, постулаты. Идёт глава "общие положения". Потом идут предложения, в строго порядке, пронумерованы, за ними идут строгие доказательства. Сейчас мы бы называли часть — задачи на построение, часть — теоремы. В доказательстве Евклид ссылается на недоказуемые положения, на то, что раньше доказывал. Доказывает всё новое и новое... Такой образ изложения материала оказался одним из важнейших моментов, связанных с математикой. Математика связана с математическим доказательством, с тем, как это делал Евклид.

И тут возникает один момент: та самая штука, с которой оно связано, математическое доказательство, появляется именно в этот период. Поразительно, но нет ничего подобного грекам из предшествующих культур. И появляется образ математики как ... знания, и он отсылает именно туда. И этот образ стал размываться именно в последние 200 лет.

Не все представляют, когда жил Евклид, это где-то рубеж 4 и 3 вв до н. э. Символически, это некая граница, к этому моменту можно считать, что сформирован образ античной математики. До этого ничего подобного нет. Есть математика древнеегипетская, древнешумерская, древневавилонская, существовала математика месопотамии. Тут действительно историки обнаружили ряд текстов, которые мы можем признать математическими, но здесь бросается в глаза серьёзное их отличие от античных текстов. Есть масса споров, что представляла собой догреческая математика, и отношение греческой с догреческой. Лектор сейчас не будет рассматривать это в связи с тем, что тексты скупы: пара папирусов египетских и несколько глиняных табличек. По крайней мере, очень явно бросается в глаза отличие. И чтобы это было наглядно, лектор приведёт пример задачи из шумеро-вавилонских текстов. Лектор будет использовать нашу 10-ричную систему, у вавилонян было 60-ричное. Леткор специально взял геометрическую задачу, чтобы лучше был виден контраст. Условие задачи: есть прямоугольный треугольник, в нём проведена линия DE, AD = 20, DB = 30, известна площадь ADCE — 320, надо найти AC, DE. Решение:

1. 320 / 20 = 16
2. 30 * 2 = 60
3. 60 + 20 = 80
4. 320 / 80 = 4
5. 16 + 4 = 20 — AC
6. 16 - 4 = 12 — DE

Комментариев нет. Есть задача, есть рецепт, делай это, делай это, получишь ответ.

Надо сказать, действительно, воспитанные на античной математике историки, они в некотором недоумении. Нормальному европейскому человеку трудно понять, тут содержится набор действий, но нет самого главного — обоснования. Таких задач много, есть задачники... Вот такая вот красота. Что на это можно сказать: некоторые полагают, раз оно есть, то так оно и было, но непонятно, как мыслить подобным образом, более того, решения правильные. Но они действия записывали, а алгоритм не записывали. Другая точка зрения: у них всё это было, но что до нас дошло о математике этих культур. Пусть о математике 20 века до некоторого гипотетического историка дойдёт обрывок тетрадки по математике 3 класса и несколько бухгалтерских расчётов. И мы на основании этого будем оценивать их культуру. Аналогично и мы не можем оценить, что там было. Поэтому любое рассуждение, было оно или нет, основывается на косвенных соображениях. И какое соображение: сторонники того, что доказательство было и в догреческой математике, являют след мысль: человек везде человек, и мыслит везде одинаково, и если не могу представить, как можно без доказательства, то и они не могли без них. Поэтому либо они не дошли, либо не записывались. Что касается противников: всё, что мы знаем о культурах этих стран — кто в нём, чем занимался, какой уклад жизни, не было некой социальной ниши, в которой кто-то мог разрабатывать средства доказательства. Всё, что мы знаем, показывает то, что там это не нужно, это было жёсткое иерархиизированное общество. А, в отличие от них, у греков появляется эта ниша, создаются условия, и, более того, провоцируют к созданию полемики и прочему. Лектор склонен к тому, что доказательства нет. Конечно, какое-то осмысление было, но путь тогда был не ценен, акцент был не на этом. Писцу древнеегипетскому не нужно было никому доказывать, что то, как он говорит, что это правильно. Ему нужно выдавать рецепт, и никто не просит обоснования.

Мы поговорили о том, в чём отличие древнегреческой математики от восточной, поэтому у нас есть основания связывать появление математики с указанным периодом. На что стоит обратить внимание: что означает слово математика, откуда появилось. Если бы мы спросили у греков, то мы бы получили вполне определенный ответ. Этот ответ есть у поздних авторов: это байки, рассказанные о себе. Доксаграфия — истории, сборники мнений о великих людях. Лектор отсылает к Диогену ... . Конечно, многие вещи, и, в частности, история о том, откуда появлилось слово математика, мы черпаем у поздних авторов, которых отделяет достаточно большое расстояние, 3 — 4 вв нэ. Тем не менее, античные анекдоты достаточно метки, определенные моменты схватывают достаточно точно. Истории о создании математики однозначно отсылают к Пифагору и древним пифагорейцам. Античная, языческая школа просуществовала достаточно долго, пока школы не закрылись.

Так вот, когда это происходило: сам Пифагор жил где-то в конце 6-го века до н.э., сообщество просуществовало до 4-го.

Пифагор и пифагорейцы

Так что же означает греческое слово математика? Самое любопытное следующее — если мы спросим себя, как наиболее точно переводить слово математика на русский, то это будет слово "наука", оно указывает на то, что учат, чему обучают. И, как сообщают поздние источники, есть какие-то области знания, которые могут быть усвоены самостоятельно, и есть какие-то знания, математика, которые требуют процесса обучения, наставления. Опять же, это отсылка к Пифагорейскому сообществу, в частности, ... в своей пифагорейской жизни рассказывал историю о том, что члены пифагорейского сообщества делились на две группы: перифирийная, "слушатели", им сообщали только набор правил поведения, в виде правил, что нужно, и что нельзя делать, и им не объясняли, как это делать. И математиков, "наученных", которым обучение передавалось в полном объёме. Вот контекст.

Итак, термин связывают с пифагорейцами. Этот термин закрепляется в переходе от Платона к Аристотелю, это рубеж 5 и 4 веков, и оказывается, что он закрепляется за некоторой группой дисциплин, которые упорно представляют как круг дисциплин, которыми занимались пифагорейцы. Некоторые источники называют две дисциплины: арифметика и геометрия. Кроме того, в текстах того же Платона таких дисциплин оказывается 4: добавляются астрономия и музыка. В результате получается 4 дисциплины. Причём, хотя в гр. различных текстах можно найти разные варианты, но основная, самая известная и закрепившаяся, именно эта структура, теснейшим образом взаимосвязана. Эти четверка дисциплин в средних веках, с лёгкой руки Байерса, получила название квадривиума, четверичного пути. Есть ещё другой термин Байерса: тривиум, тривиально. Когда формировалась средневековая система учёности, была система 7 свободных искусств, 4 указанных и три языковых: грамматика, риторика и диалектика (логика). Это самый первый уровень, тривиальный: тривиум, потом квадривиум, потом другие, боле серьёзные вещи. Эта четвёрка, которая восхадила. к пифагорейцам, просуществовала очень долго.

Что же представляли собой 4 дисциплины, что за ними стояло? Второй вопрос: почему, при чём тут пифагорейцы, почему именно у них появляются.

Начнём с первого вопроса. Что представляли 4 дисциплины в ту пору, и почему они образуют единое целое, почему впоследствии это назвали математикой. Понятно, что музыка это не искусство игры и астрономия это не наблюдение и запись движений тел. Тем не менее, здесь среди всего, что мы называли прикладной математикой, преобладали именно эти.

1. Арифметика. В этот период появляется арифметика. А что, до этого не вычисляли ничего? Вычисляли. Но тут появилась арифметика как некоторая область знания о числах, которая обособила и противопоставила себя практическим вычислениям. Есть логистика: искуство счёта, а арифметика это другое, это учение о числах, которе не связано с практическими задачами вычислений. Какие ещё особенности: греческое слово арифметика происходит от греческого слова арифмос, "число", но это слово имеет некоторые особенности. Хорошо, можно спросить, что греки называли числом? Число — натуральное число, хотя и тут возникают странности: можно обнаружить у того же Евклида, что 1 числом не является. В пифагорейской школе и 2 числом не является, числа начинаются с 3. Первый вопрос: греки других чисел не знали? Рациональные, иррациональные? Эти классифицировались любопытно. Рациональных чисел не было. Дробей не было. Были отношения чисел. При этом отношения не рассматривались как целостные объекты, не ставились в один ряд с числами. Что, иррациональных не знали? Знали, классифицировали, но они возникали как геометрические задачи, как отношения отрезков, это были как задачи отношения отрезков. И когда мы видим, что греки говорят по поводу фигурных, геометрических чисел, надо понимать, что контекст немного другой. Более того, натуральные числа они представляли не совсем так. У Платона терминология плавающая, но арифметику он называет учением о чётном и нечётном. С нашей т. з. чётность особого смысла не имеет, это частный случай делимости. Дело вот в чём, почему у греков было важно: греки представляли числа геометрически, Евклид числа изображал отрезками, но, судя по тому, что говорят историки, такое представление не было первоначальным. Первоначально числа представлялись набором дискретных объектов: для грека не только число, но и кучка и 10 камешков, которые можно по разному расположить. Для них очень характерна задача: если есть число, то какого рода геометрические конфигурации можно представить. Или наоборот: какие числа могут быть представлены в виде определенной фигуры. Эта тема характерна для греческого восприятия числа. Почему учение о чётности: если выложить в ряд, то у чётных разбиение по пустому месту, у нечетных — по объекту. Поэтому чётные числа совершеннее. Кроме того, чётные числа женские... Вообще, есть у пифагорейцев теория о противоположностях. Кроме того, есть разные фигурные числа. И так, число мыслится таким образом, образ геометричен.
2. Геометрия. Здесь попроще, наше представление близко к пифагорейскому, здесь достаточно всё понятно, но тоже были некоторые собенности. Греки больше тяготели к симметрии и правильным конфигурациям. Здесь связь с орнаментами и укладками больше. Пример: как вы думаете, какая теорема фигурирует в числе самых ранних, связанных с Пифагором? Теорема Пифагора, теорема о сумме углов треугольника, ещё одна — теорема о паркетах: если хочется замостить правильными многоуг. паркет, то это можно сделать тремя способами: 3,4,6-угольниками. Кроме того: сейчас мы рассматриваем общий треугольник, и потом частые случаи. Греки смотрели наоборот: самый правильный равносторонний, остальное — отклонения. Здесь представление о правильности, симметричности очень важно.

Это понятно, теперь как астрономия с музыкой затесались.

1. Музыка. Упорно рассказывается, что восприятие мира свзано с открытием, которое сделал Пифагор: он открыл музыкальный интервал. Он открыл, что то, хорошо или плохо звучит, зависит от отношения чисел. Открыл базовые интервалы: октаву, кварту и квинту; 1:2, 2:3, 3:4. Идея состоит в том, что музыка — учение о правильных музыкальных интервалах. Связь правильности звучания с отношениями чисел. Опять же, с одной стороны, это прикладная математика, с другой, это арифметика и геометрия (деление струн на части). Музыка в таком понимании достаточно тесно связана.
2. Астрономия. Астрономия, достаточно серьёзная, существовала раньше. В догреческой цивилизации, похоже, минимальная связь наблюдений с объяснениями. Греки начинают с того, что пытаются создать модель мира, описать, как что движется, возникают некие кинематические модели. Эти модели были пронизаны идеей правильности, всё станет подчинено главной фигуре: круг/шар. Действительно, небесные тела двигаются по окружностям, имею шарообразную форму, соотношения орбит подчиненно правильным соотношениям. Это такая правильная картина. Но как астрономия связана с музыкой: согласно Пифагору, вся эта красота как-то звучит, некоторым правильным, прекрасным, образом. Когда речь шла о соотношениях орбит, то они связывались с интервалами. Так или иначе важна идея, что астрономия теснейшим образом связана с музыкой.

Эти 4 дисциплины образовывали связь, воспринимались как единое целое. Поянтно, что в разное время возникали на роль претендентов математические науки. Например, оптика, реже механика, но базовая структура оставлась такая.

Несколько слов о следующем вопросе. Как лектор сказал, возникает вопрос: хорошо, квадривиум, да, Пифагор, но с чего вдруг они начали этим заниматься. В первую очередь бросается в глаза, что это не связано с коммерческими, практическими проектами, более того, математика рассматривалась не как решение практических задач. Именно поэтому тут есть музыка и астрономия, потому что отношение к ним особое. Астрономия: почему подлунный мир? выше орбиты луны — неизменный, правильный мир, ниже — область создания и уничтожения, и человек должен был стремиться правильности, отстраняться от практического. Эти науки направлены на то, чтобы вытаскивать из хаоса и ... . И последнее, возникает вопрос, каков контекст: зачем? Это вопрос, что представляет собой сообщество, которое создал Пифагор, и это сообщество, хоть и занималось тем, как надо организовать правильную жизнь. Гармония — пифагорейский термин, некое представление о правильном ритме, симметрии. Но, что здесь важно: доминанта была религиозная, и интерес к математике задавался религиозным контекстом. Окажется, что, похоже, этого будет недостаточно. Да, пифагорейское сообщество представляло замкнутый круг, но если бы математика. жила в составе пифагорейского сообщества, то она в составе него бы и погибла, но она начала победоносно шествовать, и это вопрос, который будет нас занимать.