Философия математики, 09 лекция (от 14 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_04_14.ogg

Мы закончили на Декарте. В прошлый раз мы поняли, в чём состояло отношение Декарта к математике, и специфика этого отношения. Мы поняли, что математика является универсальным орудием познания. Если же мы теперь спросим, каким же образом по Декарта происходит познание, и какую роль... В случае Платона или Аристотеля, за счёт чего мы могли утверждать, что использовали математику? За счёт двух вещей — душа с одной стороны помнила отношения эйдоса, что ... было, с другой стороны вещи окружающие подражают тем, тому в эйдосе, таким образом, между душой и ... есть соответствие, поскольку то, что мы познаем, завязано на единый предмет. У Декарта аналогично: есть субъект познания, тот, кто его осуществляет, и этот субъект некоторым образом устроил, Бог его некоторым образом устроил, сотворил, наделил разумом, и мир сотворён Богом, и поэтому, поскольку наш мир и разум сотворены одним и тем же Богом, то между ними есть соответствие. Можно предположить, что Бог решил пошутить, и устроил разум одним образом, а мир по другим законам, но это противоречит представлению о Боге, и согласие должно быть, Бог наделил нас представлениями, адекватными миру, в котором мы должны жить. Здесь везде сохраняется эта схема.

Хорошо, а из-за чего происходят ошибки, почему процесс познания проблемный? Мы этот вопрос можем задать как в отношении Платона, так и в отношении Декарта. Почему мы можем ошибаться, заблуждаться? Потому, что нарушена иерархия. Высшей частью души является разум, остальные должны быть подчинены. Платон выделял три части: разумная душа, яростная душа и чувственная, вожделеющая душа. Соответственно, так должна быть устроена иерархия. Есть диалог Платона ..., где это выражено: есть колесница, которой управляет разум, и в которую запряжены два коня, один из этих коней благородный, а другой причастный злу, и из-за него все неправильное и происходит. И если посмотреть, что происходит с душой, если ей начинает управлять конь, причастный злу, то понятно что происходит. Соответственно, этот конь — чувственная душа. Соотвенно, если мы хотим, чтобы наше познание было адекватно, то мы должны восстановить правильную иерархию. В нас должен господствовать разум. Нам не должна мешать и другая часть души. Мы привыкли оперировать понятием воли, но у Платона явно этого нет, у него есть понятие яростной части души, и тот, у кого она преобладает, должны быть воинами. Аналогично тому, какая часть души преобладает, должна быть устроена иерархия в государстве: вверху философы, у которых сильная разумная часть, воины и ремесленники.

Соответственно, если всё на своём месте, стражи лишь исполняют то, что говорят им правители, если третье сословие тоже занято своим делом, то всё в порядке. У Декарта всё аналогично. Если мы руководствуемся нашим разумом и не позволяем другим частям души ему мешать, то всё в порядке. Декарт вводит понятие естественный свет разума (lumen naturale), и если он преобладает, то всё в порядке. Но может быть то, что воля преобладает над разумом, она его опережает, или какие-то другие ... вмешиваются, которые заставляют делать поспешные, необдуманные действия. То есть, становятся возможны ошибки. Каким же образом по Декарту должно происходить познание? Декарт выделяет две основные способности: интуиция и дедукция. На первом месте для Декарты стоит интуиция, Декарт имеет в виду интеллектуальную интуицию, это то, что Декарт в других местах называет естественным светом разума. Когда разум нечто обнаруживает и одновременно обнаруживает это совершенно достоверно. Например, отличие треугольника от четырёхугольника, чётных от нечётных чисел, такие отличия устанавливаются очевидным для разума способом, и здесь невозможны ошибкы. Мы можем спросить, почему разум, а не, например, воображение? Нет, Декарт полагает, что дело не в этом. Да, когда мы отличаем треугольник от четырехугольника, то мы действительно можем представить и увидеть. Но если рассматриваем 1000 и 1002, то для разума разницы нет, но для воображения образ один. Здесь принципиально важно, что речь идёт о достоверности интеллектуальной. Но достоверным может быть не только то, что получено в результате интуиции, но и то, что получено в результате дедукции. Но дедукция для Декарта вторична. Чтобы осуществить дедукцию, нужно делать следующим образом: интеллектуальной интуицией должны быть удостоверены как посылки, так и каждый шаг. И если эти условия выполнены, то и всё дедуктивное рассуждение будет давать верный результат.

Представим себе, что перед нами небольшая цепочка, из 3-x или 4-x звеньев. Мы можем охватить её взглядом и удостовериться, что она целая. Но если цепочку взглядом охватить не можем, то можно взять один конец, удостовериться, что с ним соединено второе звено, и так до другого конца. Тогда, хоть мы по прежнему не можем ухватить цепоку взглядом, мы можем достоверно утверждать её целостность. При этом Декарт отчётливо говорит, что в дедукции нельзя ошибиться. Декарт не имеет в виду, что нельзя ошибиться в рассуждении, но это не ошибка дедукции. Причём, если мы спросим, почему Декарт так доверяет дедукции, то Декарту придётся апеллировать к теологии, и в итоге, Декарт формулирует эту мысль, говоря, что в основании нашего знания врождённые идеи. Иногда говорят, что Декарт — сторонник нативизма.

Что такое врожденные идеи? Примерно то же самое, что интеллектуальная интуиция, естественный свет разума. Но здесь появляется ещё одна коллизия: Декарт пытается выяснить, какие идеи бывают. Что такое идея? Это термин, которыя появляется в платонизме, и означает некую область образцов, на основании которой строятся ... . Когда мы обращаеися к средним векам, то эти платоновские идеи тоже произрастают и обитают, но уже в уме господа. Идея существует как замысел божий о мире. Но дальше переходит перенос от бога к человеку. И теперь термин идеи начинают применяться к тому, что в уме человеческом, который сответсвует по образу и подобию божьего ума. Ум человеческий отличается от ума господа, но для философов нового времени важнее сходства, а не различия, то, что по принципу действия он устроен аналогично, поэтому он и может постигать этот мир, божественный замысел. Поэтому идея у современников Декарта начинает означать всё, что имеется в нашем уме. Какие идеи бывают по Декарту:

• Благоприобритенные, приобритенные с опытом. Если мы никогда не видели корову и никто нам о ней не расскажет, то мы о ней не знаем, идея о ней только с опытом
• Созданные идеи: можно взять идею человека, лошади и создать идею-кентавра
• Но есть ряд идей, которые ни к первой группе, ни ко второй. Такие идеи называются по Декарту врождённые.

Других источников и нет. Тут правда есть неприятный вопрос о действии абстрагирования: многие современники считали, что это наше действие, наряду с комбинириванием.

Итак, у Декарта оказывается, что есть врожденные идеи, и изначально разг. о врожденных идеях разг. как о коллизии: какие идеи — врожденные? Все ли идеи получены из опыта, или есть врожденные? Были сторонники эмпиризма, которые утверждали, что все идеи могут быть возведены к чувственному опыту. Декарт считает, что так сделать нельзя. Правда, здесь есть одна хитрость: дело в том, что если мы понаблюдаем за аргументами, которые выдвигают сторонники эмпиризма, и их противники, сторонники нативизма, то здесь довольно любопытно, различие не столь велико, как может показаться. Декарт ведь не утверждает, что Бог вкладывает в наш разум некие готовые представления. Конечно, это не так, и Декарт это прямым образом пишет, пишет, что без соответствующего опыта никаких идей не обнаруживается, он даже говорит, что когда он утверждает, что есть врожденные идеи, то ничего более, что есть некая структура разума, не говорит. Есть некая потенция врожденная, и чтобы эта потенция реализовалась, требуется некий внешний повод. Без этого идея не актуализируется. Тем самым он отвечает на возражения тех, что приведите пример врождённой идеи. Если взять идею Бога, то туземцы племени мумба-юмба имеют совершенно иные представления. Или врождённая истина, 2 + 2 = 4, то вот вам умственно отсталый человек, он не имеет об этом ни малейшего представления. Эти возражения не работают, если мы понимаем нативизм, как потенциальную врождённость, так как не было достаточного повода, чтобы идеи актуализировались. Но есть одна хитрость: дело в том, что сторонники нативизма убеждены, что если врожденные идеи активируются, то они активируются определенным образом: если дошли до арифметики, то обязательно получим 2 + 2 = 4 или ничего не получим. При этом, если мы спросим, почему так, то Декарт ответит, лишь, что Бог так пожелал. За этим стоит выбор Бога.

Ещё один важный момент: Декарт с одной стороны не допускает различия, что у одного один опыт, у другого другой и у них всё разное получается, есть набор идей, которые актуализируются одним способом; второе, что касается математики: некий повод, толчок требуется, если что-то не так, то актуализация не произойдёт, с другой стороны, не стоит переоценивать роль опыта; опыт должен запустить, но не более.

Дальше — точка зрения Лейбница. Лейбниц — один из крупнейших математиков этой эпохи и один из крупнейших метафизиков. Он был чуть позже (если Декарт — середина 17-го в., то Лейбниц — рубеж 17-го и 18-го). Позиция Лейбница во многом похожа, но есть отличия. Что касается позиции Лейбница по врожденным идеям, то она очень похожа на позицию Декарта, известны знаменитые слова Лейбница, которые находятся в предисловии к большой книжке "новый опыт о человеческом разумении", он отмечал, что эмпирики правы, нет ничего такого, что есть в разуме, что не было дано в опыте и в чувствах, с одной поправкой: кроме самого разума. Эмпирикам легко удаётся вывести ... из чувств, поскольку они предполагают некую деятлеьность самого разума. Или как это было у Локка, у которого наряду с идеями чувственного восприятия, он, для того, чтобы получить всё, что ему было нужно, вводил ideas of reflection, то есть разум может получать идеи, наблюдая за деятельностью самого себя. Понятно, что Декарт утверждает близкую вещь. И у тех, и у других понятно, что без чувств не обходится, вопрос в том, на чём ставится акцент. Если подчиняем деятельности разума, то приходим к позициям рационализма, если уделяем внимание деталям получения знаний, то получаем позицию сенсуалистов. Поэтому создается ощущение, что спор между ними есть результат непонимания позиции друг друга. Но лектору интересна коллизия, то, о чём спор.

Лейбниц действительно предполагал, что наш разум не подобен чистому листу бумаги, на котором можно писать всё, что заблагорассудится, а он подобен скорее некоей хитрой глыбе мрамора. Если, конечно резец опыта не будет в неё вгрызаться, то она так и останется глыба мрамора, но если он будет это делать, то она будет обработана и откроется статуя. Причём эта глыба имеет прожилки, и мы можем получить только определенную статую. Однако в разработке вопроса о том, как и почему мы обладаем какими-то идеями, почему именно такая математика, а не другая, Лейбниц отвечает по другому. Если Декарт сразу апеллирует к решению Бога, то Лейбниц идёт дальше. Конечно, у него Бог также не является обманщиком, и Лейбниц выдвигает это одним из постулатов метафизики — идея предустановленной гармонии. Но как это выглядит: Лейбниц строит свою физику как монадологию. Когда Бог сотворил мир, он что сотворил? Он сотворил монады. Что есть монада — полноценный мир. По Лейбницу каждая душа — монада. При чём, мы бы не сказали, что воспринимаем весь мир, то по Лейбницу это не так. Если мы возражаем, то Лейбниц отвечает: воспринимаете, но не отчётливо, а смутно, то есть в нашем восприятии всё, что происходит в этом мире. Т. о. монада воспринимает весь мир, и они отличаются только ракурсом. Но Бог не может сотворить какие угодно монады. между ними должно быть согласие. Согласно Лейбницу, мы можем сказать следующим образом: Бог может сотворить не всё, что угодно, например, он не может сотворить противоречивый мир, мир должен быть внутренне непротиворечив. Причём Лейбниц переходит от онтологии к логике и обратно, с т. з. Лейбница это одно и то же. Разуму Бога представляются все возможные (непротиворечивые) миры, и эти миры можно между собой сравнивать, и дальше божественный разум, созерцая все возможные миры, решает бесконечно сложную задачу оптимизации: он среди всех миров выбирает лучший. Но так или иначе, он её решает. Более того, Лейбниц убеждён, то задача имеет ровно одно решение, в противном случае Бог никакого мира не сотворил, поскольку Бог оказался бы в ситуации буриданова осла. В случае их объединения это ещё один мир, либо противоречивый, либо лучший и единственный. Здесь Лейбниц различает божественный разум и божественную волю.

Но когда Бог творит мир, что же это значит? Ведь монада определяется только чем? Своими восприятиями, которые могут описываться как система высказываний. Кроме того, Бог творит бесконечное множество монад, между которыми должно быть согласие (предустановленная гармония). Монады не взаимодействуют, но между ними есть согласие. При этом если есть разговор между двумя людьми, то он существует двояко в представлении обоих. Это и есть предустановленная согласованность. Но это не сводится к солипсизму, когда человек порождает всё, что воспринимает. Но математика существует не только в нашем мире, но и в любом мире. Здесь Лейбниц вводит истину разума и истину факта. Лейбниц считает, что некие утверждения истинны в силу структуры, содержат скрытую тавтологию: истинные утверждения могут быть приведены к виду А есть А, ложные — к А есть не А. Истина разума есть в каждом возможном мире, но как же так? Если же мы договоримся считать, что мир описывается не только тем, что есть, но и тем, чего нет, то утверждения, отрицающие истину разума, содержает внутренние противоречия. И здесь Лейбниц не согласен с Декартом, поскольку считает, что 2 + 2 = 4 в любом мире, а не потому, что мир так сотворён. Рассмотрим:

2 + 2 = 4
Сначала определим, что такое 2 и 4:
2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
4 = 3 + 1
Дальше Лейбниц предлагает проанализировать утверждение, заменив на определения:
2 + 1 + 1 = 4
3 + 1 = 4
4 = 4

Конечно, мы пользуемся не только этими определениями. По крайней мере, мы используем закон ассоциирования. Тем не менее, Лейбниц предполагает, что дело обстоит подобным образом, что математика врождена не только человеку, но и Богу, поскольку она вместе с логикой является основой божественного мышления. Бог мыслит непротиворечиво, соответственно, во всяком мире соотвенные законы будут выполнены. При этом Лейбниц, отвечая не вопросы, не ограничивает ли это божественное всемогущество, Лейбниц отвечает, что это недоразумение, поскольку действовать в соответствии с законами логики и математики есть в природе Бога и рассматривать это как ограничение, нельзя.

Итак, наш мир, как и все возможные миры, подчинены этим законам.

Это были истины разума, истины факта специфичны для мира, и можно представить мир, где это не так.

Ещё один важный момент. Лейбниц, в связи со своим таким пониманием, как и Декарт, а Декарт пытался разработать универсальный метод познания, также и Лейбниц носился с идеей некоего особого такого языка, назывался универсальной характеристикой. Одно из значения слова характер это знак. Лейбниц полагал, что если бы мы могли неким правильным образом выбрать язык, то мы могли бы отвечать на любые вопросы познания, мы могли бы их разрешать на примере того, как человек разрешает арифметические задачи. И тогда между философами поводов для спора было бы не больше, чем между вычислителями. Любопытно, что при таком взшл. присутствует один момент: в каком случае человек мог бы обладать такой способностью? В том, если бы он мог полностью познать божественный замысел, его бы разум сравнялся с божественным, он бы познал ... . И есть такое впечатление, что Лейбниц, забывает, что есть серьёзная дистанция между человеческим разумом и божественным, хотя сам же в других местах указывает.