Философия математики, 10 лекция (от 21 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

В прошлый раз мы обсуждали взгляд на математику Декарта и Лейбница и вообще говорили о философии математики нового времени, т. е. 17-го — 18-го вв., и сейчас хорошо бы перейти к новому крупному философу, который сказал нечто важное о математике. Речь идёт о Канте. Но прежде чем переходить к Канту, важно сказать некоторые вещи о Декарте и Лейбнице, которые ранее не говорились и которые нужны для правильного понимания Канта.

Дело в том, что с Декартом связывают то открытие, которое сам Декарт называл "когито" — "я мыслю". Но с тем же успехом можно использовать слово "сознание". Можно говорить, что Декарт открыл — сознание. Здесь открытие в том, что Декарт обнаружил другой способ философствования, другую отправную точку философских рассуждений, отличную от отправной точки, которая была характерна ранее. Понятно, что у того, что делает Декарт, есть своя предыстория. Конечно, когда мы говорим об открытии Декарта, которое формируется чаще всего в виде одной фразы Cogito ergo sum — "Мыслю, следовательно, существую". Близкие пассажи можно найти у блаженного Августина, и Декарт на него опирается, но у Августина это не центрально, а Декарт этот момент обнаруживает, причём не просто так, а как исходную точку понимания процесса познания. Правда, можно заметить, что всех выводов, которые можно сделать, Декарт не делает. Декарт фиксирует этот факт, но дальше пойдёт на попятую и возвращается на позиции традиционного философствования. И она начинает существовать и приносить свои плоды. В общем-то, позиция Канта задаётся линией, которая начинается с открытия Декарта.

Декарт говорит о том, что с нашим сознанием есть определенная проблема, оно представляет собой смесь истинного и ложного, и мы должны пересмотреть и построить заново образ мышления, чтобы не допустить ложь. Начинает он это делать любопытным образом: в качестве отправной точки он избирает любопытный момент. В своём... он формулирует приницип достоверности. Декарт формулирует этот принцип достоверности следующим образом: "признавать в качестве достоверного только то, что представляется моему уму настолько ясно и отчётливо, что не вызывает сомнения". Из этого следует довольно любопытный проект: подвергнуть сомнению всё, что может подвергнуться сомнению, и не выяснить, нет ли чего, что нельзя, и если такое найдётся, то это что-то и будет положено в качестве краеугольного камня. И в трактате размышлений о философии Декарт описывает подобное мероприятие. Действительно, Декарт выясняет постепенно, что что ни возьми, в этом можно усомниться. В том числе и собственные ощущения. Хорошо, говорит Декарт, есть ли такие моменты, которые не зависят от того, во сне или наяву? Например, 2 + 2 = 4. Предположим, есть такие вещи. Но допустим, есть злобный демон, который меня морочит, и каждый раз когда я складываю 2 + 2 то он говорит, что это 4, а на самом деле 5. Но может ли быть так, что этот демон не сможет действовать? Да, если меня нет, как меня мыслящего. Соответственно, во что Декарт упёрся. В основу принципа достоверности. Мы можем сомневаться не далее, чем...

Что здесь любопытно: Декарт явным образом выявил некую любопытную позицию, которая состоит вот в чём: "Я мыслю. Но я в конце концов могу ничего не знать, не знать, что я Декарт, что я живу в такое-то время, я такого-то пола, и так далее; я ничего этого не знаю, что всё это не так; но я знаю, что я считаю себя Декартом, я воспринимаю свою руку, и т.д. Пока я утверждаю только это, я не могу утв. Может у меня и нет никакой руки, но пока я нахожусь в сфере истины." Здесь есть некий проект, который был осуществлен в итоге ..., и он будет называть это феноменологической редукцией. Это сфера феноменологического исследования.

Надо сказать, что сам Декарт не очень последователен. После того, как он обнаруживает некое мыслящее Я. Декарт непоследователен в том, что как только он его получил, он пытется построить новые утверждения, запрячь это в старую позицию. Что делает Декарт: пытается доказать, что Я не Бог. ... В итоге Декарт отказывается от утверждения, что мы отказывается утверждать от того, что наход за границами восприятия (?) На самом деле, мы ничего не теряем, если ...

Посмотрим, что происходит. С этой мыслью дальше? Что у Лейбница? Лейбниц строит метафизику монад. Мы увидим удивительную вещь: у него существует бесконечно много мыслящих Я. Он понимает, что сферу сознательного должны дополнить сферой бессознательного. И если у Декарта единственное, то у Лейбница этих Я бесконечно много. Но все они герметичны. И когда Лейбниц доказывает существование Бога, он делает одну тонкую ошибку. Лейбниц изначально постулирует, что миров бесконечно много, и каждая монада — герметичный мир, в который не может ничего проникнуть. Но почему нельзя ограничится только одним миром с одним центром. Лейбниц делает это из каких-то своих посылок, в книге постулирует. ... Хорошо, монад бесконечно много, но как их сопрячь между собой? Не будет ли это то же самое, что как если бы их нет. Лейбниц выходит из этой ситуации за счёт того, что у него есть Бог, некая супермонада, не просто монада, она создаёт все эти монады вместе со всем их содержанием. Но что значит творит? Бог Лейбница продумывает всё, у него всё подчинено точному учёту. В определенном смысле эти миры-сознания погружены в некое сверхсознание Бога. Оказывается, что эти монады абсолютны прозрачны для Бога, они являются частью его. А как же творение, независимость? Позже здесь скажут, что есть несимметричное отношение между монадами и сознанием Бога: для Бога каждая монада прозрачна, для монады сознание Бога трансцендентно. Позже, в 19 веке, это назовут пан... . Здесь очень важно, что ... Комментарий к Лейбницу: лектору представляется, что в какую-то такую картинку всё сходится. Мы оказываемся в позиции, когда есть сверхсознание, всё остальное — его часть.

Что получается, когда идём дальше? Что делает Кант? Кант начинает своё главное произведение, в котором он и говорит о математике, а именно критику чистого разума. Он ставит один любопытный вопрос: каким образом в разных областях познания разные результаты. С одной стороны есть математика и естествознание. С другой стороны, есть метафизика, где никак не могут договориться, как закладывать фундамент. Но. Для чего лектор вспоминает эту ммысль: для того, чтобы сформулировать главную идею, сам Кант называет это "коперниканским переворотом в философии": "что вокруг чего вращается? Субъект вокруг объекта или наоборот? Так же до Коперника предполагали, что солнце вокруг Земли, а Коперник пришёл и сказал, что наоборот. Аналогично раньше считалось, что объект незыблем и субъект должен подстраиваться под объект, но надо ... предписываем природе те соотношения, которые нам нравятся"

...Действительно, когда первичной точкой отсчета рассматривается то, как я мыслю, а не наоборот. Вспомним античность: для них основной отправной точкой являлось устройство космоса. ... Как описывает эту картину сам Кант: он делает следующее: для него это разделение уже произошло. Ведь, фактически, Декарт вводит некий дуализм: есть некий субъект, Я, есть нечто, что он познаёт. Причём имеет дело не с самим предметом, а нечтом другим, со своим представлением о предмете. Есть человек, есть предмет, человек наблюдает предмет, у человека образуется образ, и тогда его уже можно наблюдать. Есть вещи, есть сфера явлений, это само по себе. Два уровня рассматривает Кант. И этот метауровень скорее философский.

Ненадолго составим коллизию с двумя парадигмами, лектор иногда это будет называть парадигмой античности и средних веков (онтологические парадигмы), когда постулируют устройство мира; а подход Декарта — гносеологичической парадигмой.

А теперь к тому, где у Канта находится математика. Для этого надо вернуться к началу Критики ... Чистого Разума. Введние посвящёно классифированию суждений. Кант в этом введении все суждения делит с одной стороны на априорные и апостериорные, с другой стороны на аналитические и синтетические Эти два деления с т. з. Канта независимы, рассмотрим их по отдельности.

Априори и апостериори. Понимаюткак предш, опыту и послед. опыту. Как это можно предположить реально: человик пилил ветку, на которой сидел, и упал. Что он пилил, если априори известно, что он упадёт? Но если попытаемся узнать, откуда это, то мы будем апеллировать к опыту, если не своему, то предков. Вот К. приводит пример с подкапыванием фундамента дома, но К. сразу говорит, что понятие "априорный" будет исп. в более жёстком смысле --- суждение, предш. всякому возм. опыту. Тут мы можем удивиться, и первый вопрос --- а откуда мы заем, что такое есть? И здесь мы хотим спросить у К., есть ли такие суждения, и почему они явл такими. И К. предл. критерий, который позв. отличать апр. от апост. --- необходимость и строгая всеобщность. То есть, след. утв. мыслится как необходимое и строго всеобщее. При этом может ли К. привести какие-либо приаеры? Может, самы яркие примеры --- примеры матем. суждений. В качестве таких сужд . приводит простые арифм., геом и иные суждения. Хорошо, почему К. полагает, что утв. 7+5=12 явл. необходимым и строог всеобщим? Мы в принципе не можем предст. ситуацию, когда это изм., но почему К. полагает, что ... Предп., что мы с ним согл., что в нашей сист. есть предп., которые опытом опровергнуты быть не могут. След. вопрос --- почему мы не могли прийти к этому из опыта? Потому, что не могли. Опыт --- констатация. Мы можем утв., что пересчитывали и получали это какое-то кол-во раз, но опыт не может дать необходимости и констатции. И К. в этом убеждён.

Следовательно, эта наша убеждённость берётся не из опыта как такого. И тогда К. говорит следующее: что мы можем не уметь считать, но если мы уж нацучились, то 7+5=12. То есть, учимся мы из опыта, но не всё из него получается. Тогда откуда это взялось? Это рассм. позже. Пока отметим, что есть такие утв., которые опытом получены быть не могут, и у них должен быть свой источник.

Дальше. К. разл. аналит. и синт. сужд. Надо понимать, что К. аппеллирует к традиционной логике мысль о том, что всякое сужд. имеет субъектно-предикатную фуому: С есть П или С не есть П. Кроме того, сужд. могут ддополн кванторами, быть общими и частными. Но для К.-ской это разл. несущественно. Нас будет интерес. осн. стурктура: С есть П. Почему так должжно получаться? Если посмотрим и обобщим, то увидим, что это так. ... В резуьтате, пришли к тому, что арист. система недост гибкая, придут к многоместным предикатам и так далее. Но К. исп. классич. сужд.: аналит --- предикат ..., синт --- предикат содержится в субъекте. ...

Пример: во всяком равноб. треуг есть две равных стороны. Во всяком равноб. треуг. есть два равных угла. Первое утв. аналит., второе --- синт. Субъект --- равнобедр. треуг. Что такое равноб. треуг. --- треуг, содержит два равных угла.

... И К. наст. на том, что матем. сужд. (лектор тут сужает тему, так как К. рассм. все сужд. вообще) по большей чатси явл. синтетическими. И в этом. отн. он не согл. с Л. Л. как раз полагал, что все матем. сужд. на самом деле явл.

Елси у нас есть некий рез-т, то у нас уже есть он, непоколеб. Опытом. А если мы хотем и ээто учесть, то нам надо учесть раззличие между апр. и апост. понятиями.

Хорошо. Будем считать, что аналитич. утв. априорны. Хорошо. С ними особых проблем нет. Остаются две осн., интерес. К. группы: синт.. априор. и син. апостер. Синт. апост. его отже не олнуют. У нас есть такая штука, как опыт, и мы можем про те предметы, которые в опыте, что-то такое узнавать. Это лишь констатация.

И интересуют К. последние утв. Это утв. матем., ... . Они сообщ. нам нечто новое. У нас есть возм. присчоед. некие новые свдеениея, св-ва. И К. полагает, что синтез предп. некое созерцание, некую данность, нам долен быть дан предм., обл. этис св-вом. Но сужд. матем явл. априорными, но мы знаем только один сопосб получ. знаний -- опыт, но он не может давать необх. и всеобщ. Соотв., должен происх. некий синтез. Это и есть главный трансцедент. вопрос -- как возм. синт. априор. сужд.. Конкр --- каквозм. синт. априор. сужд. в матем.

Ответом явл. след. раздел, наз. транцедентальная эстетика. Аэстезис --- по гр --- чувств. воспр.. Соотв, эстетика --- учение о чувств. воспр. Соотв., этот раздел посвящ. тому, как происх. чувств. воспр. Здесь К. служит своё учение о пронстр. и вре., и оно и явл. ответом на этот вопрос. Обратим внимание, где нам искать этот синтез: вне сферы всякого возм. опыта? Невозм, поск. наше дост. познание отн. искл. к явлениям. Соотв., он обнаружит этот странный синтез изнутри самой сыеры опыта. Что же это за странная обл., которую К. обнаруж. внутри сфера опыта? Эту обл. К. наз. сфера трансцедентального. К. введёт строгое различие тех двух терминов, которы едо К. не отл. Трансцедентное и транденетальное. Трансцедентно --- проитвоп. имманентно (есть некая обл., то, что ей имманентно --- внутри, трансцедентно --- вне). Если мы возьмём сферу опыта, то имианентно ей будет опыт, трансцендентно --- вещи сами по себе. Что же касается трансцедентально: опыт субъективен. Предп, на меня произвед. некое действие, в рез-те возн. это явл. За то, какое это явл, отв. не одна сторона, а две: ещё и то, как устр. мы сами. Соотв., как полагает Кант, во всяком опыте, во всяком явл., с которым мы имеем дело, есть два уровня --- слой, который связан с тем, как подейств, и слой, связанный с тем, как мы это восп. Соотв., сфера трансцедентального --- то, как устр. аппарат познания. Но почему это не трансцедентно? Мы не можем сказать, что оно имманентно нашему опыту --- мы не можем изучать аппарат познания, с другой стороны, нельзя называть его трансц, потому что он нам дан. Как тогда мы его ощущ? он обнаруж. себя при действии, мы его ощущаем. Рассм. разум как коробку с инстр. --- если бы разум был иммантнтен, то эту коорбку мы бы могли изучать, если бы она была трансц., то она была. Но мы пост. имеем дело с тем, что изг. этими инстр, и можем изучать, то, из чего это было сделано. Изучая, ... .

Так вот, К. анализирует, произв. первонач. различ, выявляет неск. первонач. уровней: выявл. уровень чувтсвенности, и отл. от уровня рассудна. Кроме того, он отличает регулятивную ... . Важно, что он выделяет сферу чувств. Она отв. за то как мы воспр. В основе её тоже лежат опр. инструменты. К. называет её опр. формой чуств. Форма--- аппарат, материя --- то, что оформ. Есть всего две априор. форму чувтсв --- пр-во и время. (про различие внеш. и внутр. опыта) И говрит, что именно они делают возим. априор. синтезы, которые позволяют делать мат. суждения. И тогда понятно, откуда берётся необх. и строгая всеобщность. Сужд. мат. относятся именно к тому, как действ наш позн. аппарат, именно поэтому они необх. и всеобщи.