Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 16:15, 24 мая 2009; 77.51.6.106 (Обсуждение)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 σ-алгебра
2 Случайный эксперимент
3 Случайная величина
- 3.1 Определение
4 Вероятность
5 Вероятностное пространство
- 5.1 Определение
  - 5.1.1 Замечания
6 Распределение вероятностей
- 6.1 Определение
7 Источники

$σ$ -алгебра

Совокупность A подмножеств множества $Ω$ называется $σ$ -алгеброй:

$\Omega \in A$
$A_l \in A, l = 1,2$ , то $\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A$
если $B \in A$ , то $\overline{B} \in A$

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

Случайная величина

Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Функция $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$ , измеримаяотносительно $\mathcal{F}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb{R}$ , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

1. Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): Р(\Omega)=1:

2. Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): Р(А)>=0

для любого Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): А \in X

3. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

Вероятностное пространство

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , где

$\Omega \$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
$\mathcal{F}$ — сигма-алгебра подмножеств $\Omega \$ , называемых (случайными) событиями;
$\mathbb{P}$ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ .

Замечания

Элементарные события (элементы $\Omega \$ ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
Каждое случайное событие (элемент $\mathcal{F}$ ) — это подмножество $\Omega \$ . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие $A\subset \Omega$ , если (элементарный) исход эксперимента является элементом $A$ .
Требование, что $\mathcal{F}$ является сигма-алгеброй подмножеств $\Omega \$ , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

Определение

Определение Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ , и на нём определена случайная величина $X:\Omega \to \mathbb{R}$ . В частности, по определению, $X$ является измеримым отображением измеримого пространства $(\Omega, \mathcal{F})$ в измеримое пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на $\mathbb{R}$ . Тогда случайная величина $X$ индуцирует вероятностную меру $\mathbb{P}^X$ на $\mathbb{R}$ следующим образом: