История математики, 02 лекция (от 11 сентября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

Текущая версия

• Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_09_11.ogg

С. А. Лебедев. Отец отечественной вычислительной техники. Возглавил всё, что связано с компоновкой больших вычислительных машин (БЭСМ). (ПО первых машин возглавлял Королёв)

Лев Семёнович Понтрягин. 3 сентября исполнилось 100 лет с его рождения. Он возглавлял кафедру ОУ. В 11 лет потерял зрение и вырос в одного из ведущих математиков мира. Лектору повезло слушать его лекции по дифференциальным уравнениям. Один из основоположником топологии.

Андрей Николаевич Тихонов. (30 окт 1906—7 ноя 1993), Поступил на физмат. занимался теоретическими задачами, потом переключился на прикладные задачи. Много внимания уделял задачам геофизики. Задачи поиск полезных ископаемых, изучал температур планетных тел, распределение температур в земной коре. Он занимался очень многими проблемами, руководил в ВЦ рядом семинаров различного прикладного характера. Занимался проблемами регуляризации, позволяющей решать некорректные задачи. За работы в этой области он удостоен звания героя социалистического труда, получил ленинскую премию. Человек разносторонний. Возглавил в 1960 году кафедру ВМ мехмата и одновременно возглавлял кафедру математики на физфаке и был директором института прикладной математики имени Келдыша.

Сергей Львович Соболев. 28 --- член-корреспондент АН СССР, 32 — академик. Лектор просто вспомнит свое впечатление о заседании кафедры ВМ мехмата. Каждый, кто хотел защищать кандидатскую/докторскую, считал за честь доложиться на семинаре Соболева. Приезжает кто-то ... и если Соболев в конце давал резюме, то всё становилось ясно. С. Л. возглавлял сибирское отделение АН, уехал в Новосибирк и тогда А. Н. его заменил.

---

Многие математики так или иначе занимались историей математики. Многие предлагали делить математику по периодам. Колмогоров предложил разделить историю на 4 периода:

• От начала до 5-6 века до н.э. Это период, когда зарождались основы математического понятия, никаких методов ещё не было.
• От 5-6 вв до н.э. по 16 в. н.э. Период элементарной математики. Это то, что изучали в школе. Появляются первые близкие методы решения задач.
• С начала 17 в. Период математики переменных величин. Этот период совпадает с трудами Декарта, Ферма. Появляются переменные величины, начинают изучаться процессы, изменения. Затем понятие производной, которое позволяет писать дифференциальные уравнения, математические модели описывать с помощью дифференциальных уравнений, и отыскание методов решения этих уравнений, совершенных моделей. Всё это продолжается до середины 19 столетия
• Период современной математики. И это вроде как до наших дней.

С середины 20 столетия, по-видимому, есть некий рубеж, хотя бы появление компьютеров. Поскольку многие новые разделы математики появлились именно с появлением вычислительной техники. Кроме того, появилась возможность решать то, что нельзя был решать ранее.

Такова градация А. Н. Колмогорова.

Период зарождения математики.

Какими материалами мы можем располагать, рассматривая этот период математики? Например, наскальные изображения. 15-17 тыс. лет до н.э., обнаруженные на территории Франции, носили ритуальный характер, но имели определённую геометрическую форму. Вся беда в том, что нет твёрдых носителей информации о той эпохе, осбенно на востоке. Есть некие книги, но датированы они 200 лет д н.э.. Это уже после математиков Древней Греции. Чем характерна математика Китая: прикладной направленностью. Это вообще характерно для математики древности.

С индусами ещё сложнее. Брахмагупта, десятичная система и отрицательные числа.

Какая информация достоверна? Информация о математиках Древнего Египта, Древнего Вавилона. Время: что касается математиков Древнего Египта. Есть два источника, позволяющих судить о математиках Древнего Египта: папирус Раинда (Ринда) --- примерно 1650 г. до н.э. Есть московский папирус, который старше на 200 лет. Папирус Раинда --- 5.25 метров длины, 33 см. ширины, 84 здачи. Московский папирус 5,5 длины, 8 см. ширины и 25 задачи. Задачи трёх типов: ..., ... и прикладные.

До того, как изложить содержание папирусов, вспомним, что должн предшествовать их описанию.

Везде математика зарождалась естественно и неодновременно. Сначала зарождалось понятие числа, из практики. Когда люди прошли период неолита, когда стали создавать орудия производства, когда появился урожай.... надо было что-нибудь считать, чтобы был натуральный обмен. Понятие числа зарождалось по-рзному. Понятие натурального ряда создавалось столетиями. Сначала он был конечен, потом удлиннялся. Систем счисления было много, все они основывались на предметном представлении.

Узловое числ ---5,10,20. Были различные типы --- иероглифические, непозиционные системы. В пример приводят римскую систему. Классический пример непозиционной системы счисления. Были алфавитные непозиционные системы счисления --- греческая, славянская, армянская, еврейская, грузинская.

Вычислительные инструменты --- пальцы, камешки, зарубки.

В начале 8 века был такой человек: монах Беда достопочтенный, он изложил различные способы счёта на пальцах.

Персы, турки, китайцы использовали верёвки с узлми.

Какие меры использовали: палец, фут, локоть.

Появился абак, инструмент для счёта.

Древний Египет. Нил --- наиболее благополучная из таких рек. Поскольку, не менялось почти русло.

Что они умели: арифметика, например, 10х12=24+96=120.

Использовали дроби? Использовали, но только вида 1/n. Была таблица для представления дробей вида 2/n, как сумму таких дробей.

Были как осбые 2/3 и 3/4.

Как они записывали сумму дрбей: 1/2 1/5 1/7

Что умели в геометрии? Считать площадь треугольника, прямугольника, трапеции, круга. Площадь круга --- 8/9 d^2/

Умели вычислять объём цилиндра, объём усечённого конуса.

Есть задачи на сумму геметрической прогрессии.

Задача на пропорциональное деление.

Основные результаты лектор перечислил.

Математика носила прикладной, а не алгоритмический характер.

Ещё одно достижение --- ритуальные сооружения, пирамиды.

Есть информация ещё с глиняных дощечек, это Месопотамия, Вавилон. Климат там был очень жаркий, засушливый, жизнь зависела от орошения. Как результат более тяжёлых условий, вероятно, уровень вавилонян был выше.

Что прежде всего хочет сказать о Вавилоне: система счисления. Они первые использовали позиционную систему счисления с основание 60. Из этой системы счисления писались маленькие таблички. До нас дошло примерно 200 дощечек с таблицами без текста и 50 табличек с математическими текстами.

Решали задачи, сводящихся к уравнению первой, второй, третьей степени. По существу, можно говорить, что вавилоняне решали частные задачи вида ax=b, ax^2=b, x^3=a, x^2*(x+1)=a, а также системы уравнений. В Египте такого не было.

Геметрические представления вавилонян. У них есть таблица пифагоровых чисел. Теорему Пифагора в чистом виде не знали, но на таблице есть. Умели вычислять зачатки выч. углов и тригонометрических соотношений. Вычисляли площади и объёмы прямолинейных фигур. Для площади круга была фрмула:c^2/12, где c --- длин окружности. Отсюд π=3

Встречались следующие задачи: через какое время удвоится сумма, выданная под 20 процентов годовых.

Математика Древней Греции. Дело в том, что большой перид прошёл с того момента, когда постепенно сошла на нет значимость цивилизации Египта, Вавилона, и постепенно центр тяжести науки, культуры, развития цивилизации перемещался в Европу. Обычно это назывется чудом Древней Греции. Что характерно для этого периода? Древние греки создали основы того, что сейчас называется элементарная математика. Что этому способствовало? Прежде всего, переход от бронзы к железу, развитие ремёсел, производства, потом появились деньги, что в значительной степени способствовало торговле, обмену. Не последнюю роль играл более удобный алфавит. Развитие алфавита --- возможность перемещения, обмена.

С чьими именами связываем первые серьёзные достижения? Документально --- Фалес Милетский 624---547 год до н.э. Он многим удивлял своих современником. Вообще говоря, это был философ. Тогда не было понятия философ или биолог или астроном, и занимались всем интересным. Считал, что главное --- вода. Предсказал затмение, Вычислял высоту пирамиды по тени. Что самое главное: он формулировал математические утверждения и их доказывал. Вот в чём принципиальное отличие математики Древней Греции --- они отвечали не только на вопрос как, но и почему. Какие факты формализовывао и доказывал он:

• Диаметр делит круг пополам
• Вертикальные углы равны
• В равнобедренном треугольнике углы равны
• В ... равны по двум углам
• Теорме Фалеса

Вот какие важные факты сформулировал и доказал он в 6 в. до н.э.

Например, Фалес умел вычислить расстояние до корабля от берега.

Что ещё хотелось бы сказать пр математику этого периода ... хотел построить тоннель через гору Кастор. Что надо было сделть: в определённом месте начать рыть тоннель и в определённом месте выйти.

Он построил матмодель...

Далее --- школа Пифагора Самосского.

Это то, что уже считается классикой.

Прежде всего, Пифагор искал основу всего сущего, и он считал таковой основой число. Не только чётные и нечётные, но и совершенные, дружественные (сумма делителей одного равна другому и наоборот, напр. 220 и 284). Пифагор обожествлял эти понятия и представления. И он считал, что с числами могут общаться только избранные. Какие ещё были числа: треугольные, квадратные. У него возникло понятие иррациональности, когда пытался найти общую меру у стороны квадрата и диагонали. Тогда же было доказано, что корень из двух есть число иррациональное. Это первый кризис в истории математики. Что-то нельзя представить в виде числа, нельзя найти общую меру двух отрезков, обнаружилось, что множество отрезков более мощное, чем множество чисел. Поэтому дальше были геометрические задачи.