История математики, 06 лекция (от 09 октября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 12:59, 20 октября 2009

• Диктофонная запись (2009 год): Лекция 06.mp3
• Диктофонная запись (2008 год): http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_10_09.ogg

Рене Декарт. Имел юр. образование. Один из трудов — Геометрия. Впервые здесь было чётко сформ. понятие перем. вел-ны и системы координат. Сис. коорд. Декарт воспринимал в двояком виде. Первый вид может показаться не вполе станд., но может показ. и ст., если вы вспомните беговые дорожки, где отмечены расстояния. И первй вариант у него есть система, привяз. к некоей траектории, второй же вариант, которой мы наз. дек. исс. коорд, и есть та система. Почему Декарт не подозр. о той системе координат, которую мы наз. Дек? Д. не лоченб уважал отр. числа. И систему координат он строил только для полож. полуоси, а ось y он даже не строил. Так что, во-первых он исследовал точки только в первой четверти, и у него была только одна полуось.

Тем не менее, он предл. писать ур. кривых, предл. правила напис. ур. кривых, и доказывал, что все ур., решаемые циркулем и линейкой, реш. ур. не более второй степени. Он не давало общего правила, но рассм. большое кол-во трудных задач. Д. считал допустимыми только те прямые, которые только циркулем и линейкой, шарнирным механизмом. Он класси. кривые, давая ранг кривой, который опр. количеством звеньев шарнирного механизма, которым можно нарис. кривую. Это была первая попытка классиф. кривых. Остальные кривые были названы механическими. Позднее Леёбниц назвал их трансцендентными. У Д. не было прост. кривых. Трёхосная сист. коорд. появилась лишь в конце 18 века.

Д. занимался общей теорией реш. уравн. Не любил отр. числа, не польз., не знал комплексных чисел, и выск. ген. гипотезу: уравнение n-ной степени имеет n корней. Доказано это было значительно позже Гауссом. Доказательства были ещё до Гаусса, но зн. после Д. Но у всех этих. док был дост. большой нед.: они исходили из того, что корни сущ., и потом доказывали, что их n, Гаусс сумел без этого обойтись. Ещё Д. говрил о том, что кол-во полож. корней совп. с количеством знакоперемен в уравнений.

Уравнения 3, 4 степени он решал тригон. методами, используя метод. аналогич. методу вставки в трисекции угла.

Недостатки какие: огр. только алг. кривые. Конечно, классиф. его вряд ли может признана удачной. И нет проникновения в геом. алг. аппарата.

У него появились удобные обозн. +, -, = и · ввёл Декарт. y^2 — тоже Д. Неизв. начал наз. y, y, z, известные — a, b, c.

Не изучал он кривые по св. соотв. уравнений.

Очень напр. взаимоотношения у него были с Паскалем.

Современник и науч. соп. декарта — Ферма. Жил примерно в то же самое время. Юрист. При жизни практ. своих науч. трудов не публиковал. Всё огр. письмами, дневниками... В связи с этими и легенда о теореме Ферма. Что можно предп.:

• Док-ва не было и он лукавил
• Он считал, что у него оно есть и оно было неверным
• У него могло быть док-во

Сильно насолил Ферма той теоремой. Поскольку она форм. уж больно просто.К

Кроме великой теоремы Ф. есть ещё и малая.

Но вспомнил лектор о Фермса не поэтому, а в связи с перем. велич. и сист. коорд. У Ф. тоже исп. системак оорд. такая же, как и у Д., но у него есть одно дост. скрьёзное продвижение. Он, запис. ур., предл. делать преобр. координат: предлагал делать сдвиг и поворот. Это позволяло приводить кривыек к канонич. виду, что достаточно удобно. Дост. серьёзная иниц., которую предл. Ф.

Умел. решать задачи на отыск. экстр., постр. касательных. И стучалось в дверь появление анализа беск. малых.

Что ещё можно сказать о Ферма? Он, как и Паскаль, внёс лепту в теор. вероятностей.

Появились зачатки аналит. геометрии. Раз есть сист. коорд., раз есть ур. Ф. показал, что прямым соотв. ур. перв. степени, конич. сечениям — второй, причём приводил к канонич. виду.

Всерьёз умели решать задачи инт. ... умел решать ещё Архимед, Евдокс. Но люди надо долгое время потеряли те знания, которые имели за 1.5 тыс. лет до этого. Где-то с 1609 по 1619 Кепплер открыл законы виж планет. Для этого ему требовалось искать площади: траектория планеты за равное время заметает равные вектора. Он предп. это, но это надо было посчитать. Ему потр. возр. метод исчерпывания. Кепплер. посвятил этому дост. много времени и сил и написал большую книжку: о стереометрии, или новое в стереометрии винных бочек, как наиболее удобных, и так далее, и так далее. К. там приводил методы выч. объёмов и площадей. Оно похоже на то, чт предл. Архимед, но знач. менее строги. Наст. менее, что написал памфлет в защиту Архимеда от Кепплера.Какиеис Какие иссл. фигуры Кепплер? Тела вращ. Причём он иссл. 92 тела вращ. и это гворит о том, что нет общего метода. И ндао было для каждокопридумывать своё название. И он придумывал: яблоко, чалма, ... Он пытался разибть фигуру на мн-во частей, а потом из этого лепить другую фигуру, объём которой умел считать. Например, брал тор, нарезал на множество мелких частей, и приблищал циллиндрами. Площидь круга — сумма площ. треуг высотой в радиус и с суммой основания в длину.

Кавальери. Монах из Болонии. Всю жизнь посвятил матем. Его волновало, как выч. объём и площ. фигур, и он несильно продвиулся по срав. с Дамакритом.

Когда лектор гвоорил про фЕрма, почему он увлёкса матем: он читал фил. древности, в частности, аполлония, который занимался кривыми. У кавальери же идеи своп. с идеями Дамакрита. Он проповедовал идею ндеелимых. Надо исп. для изм. чего-то элем. ежиницы на единицу меньше. Он строил прямую, регулу, и строил пар-но ейбеск. кол-во прямых. Что кас. прмых, т о онит покр. деск. кол-вом точек, но что это такое, у К. дело не доходило.

Одновременно с ним пытался выч. объёмы фигур Торричелли. Он выч. объём фигуры, получ. в рез-те вращ. ветки гиперболы.

Пожалуй, надо сказать о наиб. продвинутой в этом напр. вещи. Лектор вернётся к Паскалю. Лектор о П. говорил како созд. машины. Но П. это не только великий физик и конструктор, но и великуий матем. Его рез-ты в теор. вер-ти, треуг. П., но он тоже исп. теорию недел., но в знач. более продв. форме. Он в кач. неделимого ис.п ∑y dy. Он в этом смысле продв. знач. дальше.

Дальше это связано с именнами британцев, шоттландцев: ... Барроу. В трудах ... уже отд. труды по интергр. и диф. ур.

Барроу сформ. обр. связь задач на инт. и диф. Задача диф. — задача на отыск. экстр., а инт — на от. площадей, и он сформ. теорему о связи этих задач.

Инт. исч. в серьёзном виде возн. одновр. в виде теории флюксий у Ньютона, исч. диф. у Лейбница. Это творая половина 17-го века, и начнёт леткор с Исаака Ньютона, великуого учёного, выд.ю механика, физика, астронома, математика, причём физики сч. , что это великий физик, механики, что великий механик, матем., что выд. матем. Сам себя матем. не считал, поск. матем. у него была ср=вом, а не самоцелью для реш. задач фищики и механики. Он придумываал способы и методы, недост. серьёхно это обосн., поск. или не считал эт необх., или не мог это сделать. Но ему нужно было получать рез-ты и рез-ты получались верные, и пусть кто-то потомэти рез-ты обосн. Такой же точки зр. придерж. и Эйлер.

Н. Зак. trinity college. Зак. его и получил степень магистра. в 1665 случилась эпидемия, и он укрылся от неё укрылся в Вудсторке на три года. И это оказ. самые плодотворные годы в жизни Ньютона. Осн. вещи:

• Заложены осн. теории флюксий
• Закон всемирного тяготения
• Провод. изыск. в обл. теории света. Он открыл, что свет можно разл. на цветные составляющие. Он исп. корпуск. теорию света. Но при этом он первый измерил длину волны.

Это всё в этот период предывания в Вуллсторке(?)

В 1969 году вернулся в Кембридж к учителю Барроу. И Б. просил Н. возглавить кафедру матем., которую возгдл. сам Барроу. И 32 года он возгл. каф. мат. в Кембридже.

В 1672 году он стал членом Лонд. корол. общ., впосл. его возглавил. Потом стал членом париж. академии наук.

Он был назн. смотр. монетного двора и упорядочил монетное дело в Англии.

Он получил дворянское звание, похоронен был в вестми... аббатстве.

Бернулли разослал две сложных задачи всем изв. ему мат. Европы и дал 6 месяцев на реш. задач. Прошло немного времени, и он получ. анонимное реш., но по стилю изл. быо ясно, что это Ньютон.

Чнм он зан.: фищ., мех., мат:

• Мех. Три закона Ньютона. ЧЕстно, не только он, первый, например, Галлилей, но Н. собрал из в кучку. он же показал, что законы движ. планет вытекают из закона всемир. тяг
• Иссл. движ. тел в сплош. среде
• Решал конкр. задачи земной и неб. механики
• Главная заслуга — рез-ты в теории диф. исчисления.

Главное, о чём лектор хотел бы сказать — теория флюксий. Это флюэта, от "течь" — зависимая переменная, зависит она от непр. меняемой вел-ны. Скорость изм. наз. флюксией. Т. о., это произв. по времени от флюенты. Если флюенты обозн. y, то флюксия — y с точкой, изм. флюксии — y с двумя точками, и так далее. В мех. до сих. пор такое обозн.

Если дана флюксия, то как получить флюенту? 'y, или □y — отсюда квадратура.

В теор. флюксий в перв. очедерь появлиось неопр. интегрирование.

Пример самого Н., как он диф. функции, алг. диф функции, и тут лектор хочет отметить некую особенность: он диф. не функции, а соотн. И вы увидите, почему он сам не шибко удовл. своими изысканиями:

x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0 — соотн. для флуент x, y.

К каждой флюенте доб. момент:

(x+x·O)^3 - a(x+x·O) + a(x+y·O)(y+y·O) - (y+y·O)^3 = 0
x^3 + 3x^2 x·O + 3x x·^2 O^2 + x·^3 O^3 - ax^2 - 2axx·O - ax·^2O^2 + axy + axy·O + ax·yO + ax·y·O^2 - y^3 - 3y^2 y·O - 3yy·^2 O^2 - y·^3 O^3 = 0

Делим это всё на O:

3x^2 x· - 2axx· + axy· + ax·y - 3y^2 y = 0

Получится диф., но понятно, что это нечто неформальное.

Более того, он метод форм. метод в виде правила. Он говорит так: «разложи по степеням переменных»

x^3 - ax^2 + axy - y^3     - y^3 + 0y^2 + axy - ax^2 + x^3

Расположи в арифм. прогр. коэф с x·/x:

3x·/x 2x·/x x·/x 0           3y·/y 2y·/y y·/y 0

Умножь почленно:

...
3x^2 x· - 2axx· + ax·y     - 3y^2 y + axy·

...

D xkj;ys[ ckexfz[ Y/ ращлагал функции во врем. ряды. Но, чтобы иметь возм. отбр., док..., Ньютон не мог.

В кач. примера его рез-тов: интерполирование. Есть интерп. формула Ньютона. Что он предложил:

f(a + n δx) = f(a) + nδf(a) + h(n-1)/2! aδ^2 f(a) + ... + δ^n f(a)
δf(x) = f(x + δx) - f(x)
δ^2 f(x) = δf(x+δx) - δf(x)

В след. году Тейлор предл. рассм. слуай беск. большого кол-ва слагаемых.

Почему лектор на это напирает? У Ньютона формула приближённая. Тейлор предложил ф-лу точную. Что дальше? Дальше — упомянуты метод рунгк-кутта. Можно аппрокс. производные.

Если гов. об англ. мат. того периода, то там есть Симпсон, Стирлинг.

Главное: Ньютон — родонач. теор. диф. в виде флюксий.

Следующий — Лейбниц.