Редактирование: Математическая Логика, решение задач/variant 2004
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 20: | Строка 20: | ||
φ<sub>3</sub> = ∃ p (A(p, y) & ((a ≤ p) & (p ≤ b))) | φ<sub>3</sub> = ∃ p (A(p, y) & ((a ≤ p) & (p ≤ b))) | ||
- | ∀ a ∀ b ∀ y (S(y) & φ<sub>1</sub> & φ<sub>2</sub> & (S(y) & φ<sub>1</sub> & φ<sub>2</sub> → φ<sub> | + | ∀ a ∀ b ∀ y (S(y) & φ<sub>1</sub> & φ<sub>2</sub> & (S(y) & φ<sub>1</sub> & φ<sub>2</sub> → φ<sub>4</sub>)) |
=== Задача 2 === | === Задача 2 === | ||
Строка 47: | Строка 47: | ||
''Каковы бы ни были две последовательности действительных чисел такие, что первая одна из них → 0, а другая ограничена, тогда из произведение тоже → 0.'' | ''Каковы бы ни были две последовательности действительных чисел такие, что первая одна из них → 0, а другая ограничена, тогда из произведение тоже → 0.'' | ||
- | φ<sub>1</sub> = | + | φ<sub>1</sub> = ∀ n (N(n) & &exist x; ∃ M (R(M) & R(x) & E(x, n, y) & (x < M))) |
φ<sub>2</sub> = ∃ y<sub>3</sub> (S(y<sub>3</sub>) & ∀ n (N(n) ∃ x<sub>1</sub> ∃ x<sub>2</sub> ∃ x<sub>3</sub> (E(x<sub>1</sub>, n, y<sub>1</sub>) & E(x<sub>2</sub>, n, y<sub>2</sub>) & E(x<sub>3</sub>, n, y<sub>3</sub>) & (x<sub>3</sub> = x<sub>1</sub> × x<sub>2</sub>)))) | φ<sub>2</sub> = ∃ y<sub>3</sub> (S(y<sub>3</sub>) & ∀ n (N(n) ∃ x<sub>1</sub> ∃ x<sub>2</sub> ∃ x<sub>3</sub> (E(x<sub>1</sub>, n, y<sub>1</sub>) & E(x<sub>2</sub>, n, y<sub>2</sub>) & E(x<sub>3</sub>, n, y<sub>3</sub>) & (x<sub>3</sub> = x<sub>1</sub> × x<sub>2</sub>)))) | ||
Строка 55: | Строка 55: | ||
''Нет такой сходящейся последовательности, что ее нельзя было бы представить как сумму двух сходящихся последовательностей.'' | ''Нет такой сходящейся последовательности, что ее нельзя было бы представить как сумму двух сходящихся последовательностей.'' | ||
- | φ<sub>1</sub>(y) = S(y) & ∃ m (R(m) & | + | φ<sub>1</sub>(y) = S(y) & ∃ m (R(m) & (m, y)) |
- | φ<sub>2</sub>(y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y<sub>3</sub>) = (S(y<sub>3</sub>) & ∀ n (N(n) ∃ x<sub>1</sub> ∃ x<sub>2</sub> ∃ x<sub>3</sub> (E(x<sub>1</sub>, n, y<sub>1</sub>) & E(x<sub>2</sub>, n, y<sub>2</sub>) & E(x<sub>3</sub>, n, y<sub>3</sub>) & (x<sub>3</sub> = x<sub>1</sub> | + | φ<sub>2</sub>(y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y<sub>3</sub>) = (S(y<sub>3</sub>) & ∀ n (N(n) ∃ x<sub>1</sub> ∃ x<sub>2</sub> ∃ x<sub>3</sub> (E(x<sub>1</sub>, n, y<sub>1</sub>) & E(x<sub>2</sub>, n, y<sub>2</sub>) & E(x<sub>3</sub>, n, y<sub>3</sub>) & (x<sub>3</sub> = x<sub>1</sub> × x<sub>2</sub>)))) |
- | ¬(∃ y | + | ¬(∃ y (φ<sub>1</sub>(y) & ∀ y<sub>1</sub> ∀ y<sub>2</sub> (φ<sub>1</sub>(y<sub>1</sub>) & φ<sub>1</sub>(y<sub>2</sub>) & ¬φ<sub>2</sub>(y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y)))) |
== Табличный вывод == | == Табличный вывод == | ||
=== Правила === | === Правила === | ||
- | # <math>L\neg:\frac{< | + | # <math>L\neg:\frac{<\phi,\Gamma|\Delta>}{<\Gamma|\phi,\Delta>}</math> |
# <math>R\neg:\frac{<\Gamma|\neg\phi,\Delta>}{<\phi,\Gamma|\Delta>}</math> | # <math>R\neg:\frac{<\Gamma|\neg\phi,\Delta>}{<\phi,\Gamma|\Delta>}</math> | ||
# <math>L\and:\frac{<\phi_1\and\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_1,\phi_2,\Gamma|\Delta>}</math> | # <math>L\and:\frac{<\phi_1\and\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_1,\phi_2,\Gamma|\Delta>}</math> | ||
Строка 68: | Строка 68: | ||
# <math>L\lor:\frac{<\phi_1\lor\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_1,\Gamma|\Delta><\phi_2,\Gamma|\Delta>}</math> | # <math>L\lor:\frac{<\phi_1\lor\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_1,\Gamma|\Delta><\phi_2,\Gamma|\Delta>}</math> | ||
# <math>R\lor:\frac{<\Gamma|\phi_1\lor\phi_2,\Delta>}{<\Gamma|\phi_1,\phi_2,\Delta>}</math> | # <math>R\lor:\frac{<\Gamma|\phi_1\lor\phi_2,\Delta>}{<\Gamma|\phi_1,\phi_2,\Delta>}</math> | ||
- | # <math>L\to:\frac{<\phi_1\to\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_2, | + | # <math>L\to:\frac{<\phi_1\to\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_2,\Gamma|\phi_1,\Delta>}</math> |
# <math>R\to:\frac{<\Gamma|\phi_1\to\phi_2,\Delta>}{<\phi_1,\Gamma|\phi_2,\Delta>}</math> | # <math>R\to:\frac{<\Gamma|\phi_1\to\phi_2,\Delta>}{<\phi_1,\Gamma|\phi_2,\Delta>}</math> | ||
Строка 74: | Строка 74: | ||
# <math>L\forall:\frac{<\forall x\phi(x),\Gamma|\Delta>}{<\forall x\phi(x),\phi(x)\{^x/_t\},\Gamma|\Delta>}</math>, при условии, что переменная ''x'' свободна в ''φ(x)'' для терма ''t''. | # <math>L\forall:\frac{<\forall x\phi(x),\Gamma|\Delta>}{<\forall x\phi(x),\phi(x)\{^x/_t\},\Gamma|\Delta>}</math>, при условии, что переменная ''x'' свободна в ''φ(x)'' для терма ''t''. | ||
# <math>R\forall:\frac{<\Gamma|\forall x\phi(x),\Delta>}{<\Gamma|\phi(x)\{^x/_c\},\Delta>}</math>, где ''c'' — константа, которая не содержитсяв Γ, Δ или ''φ(x)'' | # <math>R\forall:\frac{<\Gamma|\forall x\phi(x),\Delta>}{<\Gamma|\phi(x)\{^x/_c\},\Delta>}</math>, где ''c'' — константа, которая не содержитсяв Γ, Δ или ''φ(x)'' | ||
- | # <math>L\exist:\frac{<\exist x\phi(x),\Gamma|\Delta>}{<\phi(x)\{^x/_c\},\Gamma|\Delta>}</math> | + | # <math>L\exist:\frac{<\exist x\phi(x),\Gamma|\Delta>}{<\phi(x)\{^x/_c\},\Gamma|\Delta>}</math> |
- | # <math>R\exist:\frac{<\Gamma|\exist x\phi(x),\Delta>}{<\Gamma|\exist x\phi(x),\phi(x)\{^x/_t\},\Delta>}</math> | + | # <math>R\exist:\frac{<\Gamma|\exist x\phi(x),\Delta>}{<\Gamma|\exist x\phi(x),\phi(x)\{^x/_t\},\Delta>}</math> |
=== Задача 1 === | === Задача 1 === | ||
- | С помощью метода семантических таблиц установить, общезначима ли формула: | ||
- | |||
- | <math>\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))\to(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))</math> | ||
- | |||
- | '''Решение.''' | ||
- | |||
<math>\begin{array}{ccc} | <math>\begin{array}{ccc} | ||
<\empty|\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))\to(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))> \\ | <\empty|\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))\to(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))> \\ | ||
Строка 99: | Строка 93: | ||
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),(P(t_1)\to R(t_2)),P(c_2)|R(c_1)> \\ | <\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),(P(t_1)\to R(t_2)),P(c_2)|R(c_1)> \\ | ||
\darr L\to \\ | \darr L\to \\ | ||
- | <\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),R(t_2 | + | <\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),R(t_2),P(c_2)|P(t_1),R(c_1)> \\ |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
+ | Получили закрытую таблицу, следовательно, формула общезначима. | ||
{{Курс Математическая Логика}} | {{Курс Математическая Логика}} |