Математическая Логика, решение задач/variant 2004

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Построение предиката по утверждению

Условные обозначения

  • почти все = все, кроме конечного числа;

Доступные предикаты

  • R(x) — вещественное число;
  • N(x) — натуральное число;
  • S(y) — y — последовательность действительных чисел;
  • E(x, n, y) — x — элемент y с номером n;
  • A(p, y) — p — предельная точка последовательности y;
  • M(x, y) — x — предел последовательности y;
  • x < y, x = y — сравнение и равенство.

Задача 1

Какова бы ни была последовательность действительных чисел и отрезок [a, b] действительных чисел, если бесконечно много элементов этой последовательности содержится в данном отрезке, то хотя бы одна предельная точка данной последовательности также сожержится в этом отрезке.

φ1 = (R(a) & R(b) & (a ≤ b))
φ2 = ∀ n1 (N(n1) & ∃ n2 (N(n2) & (n2 ≥ n1) & ∃ x1 (E(x1, n2, y) & ((a ≤ x1) & (x1 ≤ b))))
φ3 = ∃ p (A(p, y) & ((a ≤ p) & (p ≤ b)))

∀ a ∀ b ∀ y (S(y) & φ1 & φ2 & (S(y) & φ1 & φ2 → φ4))

Задача 2

Какова бы ни была последовательность действительных чисел, найдется отрезок, содержащий все ее предельные точки.

∀ y  S(y) & ∃ a ∃ b (∀ p (A(p, y) & (a ≤ p) & (p ≤ b))))

Задача 3

Каков бы ни был отрезок [a,b] действительных чисел, если почти все элементы произвольной последовательности действительных чисел лежат вне этого отрезка, то и все предельные точки этой последовательности лежат вне этого отрезка

φ1 = (R(a) & R(b) & (a ≤ b))
φ2 = ∃ n1 (N(n1) & ∀ n2 (N(n2) & (n2 ≥ n1) & ∀ x1 (E(x1, n2, y) & ((a > x1) ∨ (x1 > b))))
φ3 = ∀ p (A(p, y) & ((a > p) & (p > b)))

∀ a ∀ b ∀ y (S(y) & φ1 & φ2 & (S(y) & φ1 & φ2 → φ3))


Математическая Логика


Лекции

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16


Календарь

Сентябрь
24 25 26
Октябрь
02 03 10 17 24 31
Ноябрь
07 14 21 28
Декабрь
05 12 19
Семинары

01 02 03 04 05 06 07


Календарь

Сентябрь
26
Октябрь
10 24
Ноябрь
07 21
Декабрь
05 19

Ссылки
Официальная страница курса | Задачи
Проведение экзамена | Решение задач: Решение задач методички | Решение задач варианта экзамена 2004 года | Алгоритмы решения задач

Личные инструменты
Разделы