Редактирование: Математическая Логика, 02 лекция (от 25 сентября)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
'''Слайды:''' http://mathcyb.cs.msu.su/paper/zakh/LectLog2.pdf | '''Слайды:''' http://mathcyb.cs.msu.su/paper/zakh/LectLog2.pdf | ||
| - | Отвечая на заданные себе вопросы, математики 20-го века начали разрабатывать тот аппарат, который использовали для доказательства своих утверждений, | + | Отвечая на заданные себе вопросы, математики 20-го века начали разрабатывать тот аппарат, который использовали для доказательства своих утверждений, тоесть, логику. В первую очередь, они разработали язык, язык предикатов. |
| - | Сегодня будет он рассмотрен, его синтаксис, семантика. Наконец, будет | + | Сегодня будет он рассмотрен, его синтаксис, семантика. Наконец, будет иссл. отношение между выск. и интерпретациями, отношение выполнимости, на осн. которого выяняется, что такое истина, и что такое ложь. |
== Логика предикатов == | == Логика предикатов == | ||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
=== Предикат === | === Предикат === | ||
| - | Логика | + | Логика предикатов --- логика отношений. В более общем смысле это атрибут предмета, отношение предметов. |
=== Алфавит логики предикатов === | === Алфавит логики предикатов === | ||
| - | * Предметные переменные. Указывают на объект. Обозначаются | + | * Предметные переменные. Указывают на объект. Обозначаются лат. буквами конца алфавита |
| - | * Предметные константы. Символы, которые играют роль имён предметов. Они просто привязаны к предмету. Имена предметов. | + | * Предметные константы.. Символы, которые играют роль имён предметов. Они просто привязаны к предмету. Имена предметов. |
| - | * | + | * Функ. симвыолы. Вместе в каждой буквой ассоц. число больше 9, которое обозначает местность функции. Операции над предметами. |
| - | * Предикатные символы. Будут служить для | + | * Предикатные символы. Будут служить для обозн. отношения. В скобках указывается местность. Отьношения между предметами |
Тройку констант, предикатов, функций обозначают сигнатурой языка. | Тройку констант, предикатов, функций обозначают сигнатурой языка. | ||
| Строка 24: | Строка 24: | ||
Пример. | Пример. | ||
* Константы — числа | * Константы — числа | ||
| - | * | + | * Функ. символы — арифм. операции |
* Предикаты — операции сравнения | * Предикаты — операции сравнения | ||
| - | * | + | * Логич. связки |
** Конъюнкция | ** Конъюнкция | ||
** Дизъюнкция | ** Дизъюнкция | ||
** Импликация | ** Импликация | ||
* Квантор всеобщности - for all - ∀ | * Квантор всеобщности - for all - ∀ | ||
| - | * Квантор | + | * Квантор существования --- exists --- &exists; |
* Знаки препинания: ",", "(", ")" | * Знаки препинания: ",", "(", ")" | ||
=== Терм === | === Терм === | ||
| - | + | Терм --- всякая переменная, всякая константа, f<sup>(n)</sup>(t1, ..., tn). | |
| - | * | + | * Term --- множество всех термов |
| - | * Var<sub>t</sub> | + | * Var<sub>t</sub> --- множество переменных t |
| - | * Если Var<sub>t</sub> = ∅, то | + | * Если Var<sub>t</sub> = ∅, то t --- основной терм |
=== Формулы === | === Формулы === | ||
| Строка 48: | Строка 48: | ||
Два класса формул: | Два класса формул: | ||
| - | * Атомарная | + | * Атомарная формула --- P<sup>(m)</sup>(t1, ..., tm) |
| - | * Сложная | + | * Сложная формула --- (φ {&|∨|→} ψ), (¬ψ), (∀xφ), (&exists;xφ) |
| - | В импликации левая | + | В импликации левая часть --- посылка импликации, правая --- следствие импликации. |
=== Приоритет операций === | === Приоритет операций === | ||
| Строка 59: | Строка 59: | ||
=== Свободные и связанные переменные === | === Свободные и связанные переменные === | ||
| - | Свободная пермененная | + | Свободная пермененная моет принимать любое значение, какое даёт ей автор. Значением связанной переменной руководит квантор. |
* Квантор связывает ту переменную, которая идёт за ним | * Квантор связывает ту переменную, которая идёт за ним | ||
| - | * Связанное | + | * Связанное вхождение --- всякое вхождение переменной, связанной квантором. |
* Все вхождения перменной, лежащие вне области действия квантора, связывающего эту переменную называются свободными | * Все вхождения перменной, лежащие вне области действия квантора, связывающего эту переменную называются свободными | ||
| Строка 95: | Строка 95: | ||
Формула | Формула | ||
| + | |||
| + | <!-- педедыв --> | ||
=== Семантика === | === Семантика === | ||
| - | + | Семантика --- свод правил, наделяющих значением, смыслом синт. констр языка. | |
| - | + | Интерп --- воображ. мат. мир, в котором все бьазовые мат. объекты надеваются смыслом в соотв. с их предназнач. и названием. Интерп. Константы --- предмет, и т. д. | |
| - | Здесь будет | + | Здесь будет исп. алгебр. интерп. это строгая форма интерп. |
* D1 | * D1 | ||
| - | * | + | * Const --- имя становится становится тем предметом, который носит это имя |
| - | * | + | * Func --- функ. символы обозн. отображение, функции, многоместные операции |
| - | * | + | * Pred --- два разных обозначения. Если предикат выполняется, то true, иначе false. |
| - | Миров можно придумать много. Потенциал для | + | Миров можно придумать много. Потенциал для опр. разных интерп. неограничен. |
| - | ==== Как на | + | ==== Как на осн. интерпретации выч. знач. терма и формул ==== |
| - | Пусть задана интерпретация, терм и набор элементов из | + | Пусть задана интерпретация, терм и набор элементов из облпасти интерп. |
| - | * Если | + | * Если терм --- переменная, то значение терма --- значение переменной. |
| - | * Если | + | * Если терм --- константа, то значение терма --- значение константы. |
| - | * Если терм составной, то его значение будет образом | + | * Если терм составной, то его значение будет образом ... |
| - | Для | + | Для интерп. формулы можно ыввести выполн. выполнимости между интерп. и формулой. Оно выражает суждение о том, что заданная интерп, соотв формуле, является верной. |
Обычная конъюнкция такова, что A & B и B & A равносильны. Но в лингвистике для A = "начался пожар" и B = "приехали пожарные" это не так. | Обычная конъюнкция такова, что A & B и B & A равносильны. Но в лингвистике для A = "начался пожар" и B = "приехали пожарные" это не так. | ||
| - | + | Импликация --- самая отчаянная связка. Выполнимости не будет, если ψ1 выполнилось, а ψ2 --- нет. Во всех остальных случаях выполнимость присутствует. Отсюда такая формула. | |
{{Математическая Логика}} | {{Математическая Логика}} | ||
{{Lection-stub}} | {{Lection-stub}} | ||
