Редактирование: Математическая Логика, 02 лекция (от 25 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

[[Математическая Логика, 01 лекция (от 24 сентября)|Предыдущая лекция]] | [[Математическая Логика, 03 лекция (от 26 сентября)|Следующая лекция]]

'''Слайды:''' http://mathcyb.cs.msu.su/paper/zakh/LectLog2.pdf

Отвечая на заданные себе вопросы, математики 20-го века начали разрабатывать тот аппарат, который использовали для доказательства своих утверждений, то есть, логику. В первую очередь, они разработали язык, язык предикатов.

Сегодня будет он рассмотрен, его синтаксис, семантика. Наконец, будет исследовано отношение между высказываниями и интерпретациями, отношение выполнимости, на основе которого выясняется, что такое истина, и что такое ложь.

== Логика предикатов ==

=== Предикат ===

Логика предикатов — логика отношений. В более общем смысле это атрибут предмета, отношение предметов.

=== Алфавит логики предикатов ===

* Предметные переменные. Указывают на объект. Обозначаются латинскими буквами конца алфавита
* Предметные константы. Символы, которые играют роль имён предметов. Они просто привязаны к предмету. Имена предметов.
* Функциональные символы. Вместе в каждой буквой ассоциировано число больше 9, которое обозначает местность функции. Операции над предметами.
* Предикатные символы. Будут служить для обозначения отношения. В скобках указывается местность. Отьношения между предметами
 
Тройку констант, предикатов, функций обозначают сигнатурой языка.

Пример. 
 * Константы — числа
 * Функциональные символы — арифметические операции
 * Предикаты — операции сравнения
 
* Логические связки
** Конъюнкция
** Дизъюнкция
** Импликация
* Квантор всеобщности - for all - &forall;
* Квантор существования — exists — &exists;
* Знаки препинания: ",", "(", ")"

=== Терм ===

Терм — всякая переменная, всякая константа, f(n)(t1, ..., tn).

* Term — множество всех термов
* Vart — множество переменных t
* Если Vart = &empty;, то t — основной терм

=== Формулы ===

Другой класс генераторов правильных выражений.

Два класса формул:
* Атомарная формула — P(m)(t1, ..., tm)
* Сложная формула — (&phi; {&amp;|&or;|&rarr;} &psi;), (&not;&psi;), (&forall;x&phi;), (&exists;x&phi;)

В импликации левая часть — посылка импликации, правая — следствие импликации.

=== Приоритет операций ===

Посмотрев на примеры, можно понять, что скобки затрудняют чтение, поэтому можно ввести соглашение о приоритете операций

=== Свободные и связанные переменные ===

Свободная пермененная моет принимать любое значение, какое даёт ей автор. Значением связанной переменной руководит квантор.

* Квантор связывает ту переменную, которая идёт за ним
* Связанное вхождение — всякое вхождение переменной, связанной квантором.
* Все вхождения перменной, лежащие вне области действия квантора, связывающего эту переменную называются свободными

Var&phi; — множество свободных переменных формулы &phi;

Tckb Var&phi; = &empty;, то формула &phi; называется предложением. Это законченное высказывание, которое мы можем оценивать вне зависимости от значений каких-либо параметров.

=== Соглашение о приоритете операций ===

Действует для формул и позволяет расставить скобки, чтобы выражение стало формулой.

* &not;, &forall;, &exist;
* &amp;
* &or;
* &rarr;

=== Пример ===

Данный язык очень мощен и позволяет выражать утверждения из любой области языка.

* Алфавит
** Константы
*** 0 константа, действительное число ноль;
** Функциональные символы
*** h(2) (x,y) — абсолютная разность чисел x и y;
** Предикатные символы
*** R(1) (x)x действительное число;
*** N(1) (x)x натуральное число;
*** S(1) (x)x последовательность действительных чисел;
*** E(3) (x,y,z)x это y-ый член последовательности z;
*** <(2) (x,y) число x меньше числа y.

Формула

=== Семантика ===

Семантика — свод правил, наделяющих значением, смыслом синтаксические констр языка.

Интерпретация — воображаемый математический мир, в котором все базовые математические объекты наделяются смыслом в соответствии с их предназначением и названием. Интерпретация константы — предмет, и т.д.

Здесь будет использоваться алгебраическая интерпретация это строгая форма интерпретации.

* D1
* Const — имя становится становится тем предметом, который носит это имя
* Func — функциональные символы обозначают отображение, функции, многоместные операции
* Pred — два разных обозначения. Если предикат выполняется, то true, иначе false.

Миров можно придумать много. Потенциал для определения разных интерпретаций неограничен.

==== Как на основе интерпретации вычислить значение терма и формул ====

Пусть задана интерпретация, терм и набор элементов из области интерпретации.

* Если терм — переменная, то значение терма — значение переменной.
* Если терм — константа, то значение терма — значение константы.
* Если терм составной, то его значение будет образом …

Для интерпретации формулы можно вывести свойство выполнимости между интерпретацией и формулой. Оно выражает суждение о том, что заданная интерпретация, соответствующая формуле, является верной.

Обычная конъюнкция такова, что A & B и B & A равносильны. Но в лингвистике для A = "начался пожар" и B = "приехали пожарные" это не так.

Импликация — самая отчаянная связка. Выполнимости не будет, если &psi;1 выполнилось, а &psi;2 — нет. Во всех остальных случаях выполнимость присутствует. Отсюда такая формула.

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.name/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0%2C_02_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_25_%D1%81%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8F%D0%B1%D1%80%D1%8F%29

Редактирование: Математическая Логика, 02 лекция (от 25 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 === Свободные и связанные переменные ===
-Свободная пермененная может принимать любое значение, какое даёт ей автор. Значением связанной переменной руководит квантор.
+Свободная пермененная моет принимать любое значение, какое даёт ей автор. Значением связанной переменной руководит квантор.
 * Квантор связывает ту переменную, которая идёт за ним