Основы Кибернетики, Алгоритмы решения задач/Задачи на ДНФ

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

По заданной ФАЛ построить ее сокращенную ДНФ, ДНФ Квайна, ДНФ сумма тупиковых, все тупиковые ДНФ

Определения

Функция алгебры логики

Функция алгебры логики — функция, переводящая вектор из n-элементов множества B = {0, 1} в элемент множества B. То есть, для каждого набора нулей и единиц у функции определено значение, равное нулю или единице.

Построение сокращённой ДНФ

Определения

Буква xσ

Есть алфавит X(n) = {x1, … xn}. Буква xiσ есть xi, если σ = 1, и i, если σ = 0.

Конъюнкция ранга r

Конъюнкция ранга r K = xi1σ1xirσr, 0 ≤ r ≤ n; K = 0 при r = 0.

Элементарная конъюнкция

Элементарная конъюнкция — конъюнкция, у которой все переменные в буквах различны: xikσlxilσl при k ≠ l

Импликанта

Элементарная конъюнкция К называется импликантой f, если Kf = f.

Простая импликанта

Импликанта К функции f называется простой импликантой, если при вычёркивании любой буквы K получается элементарная конъюнкция, которая не является импликантой f.

Сокращённая ДНФ

Сокращённая ДНФ — дизъюнкция всех простых импликант f

Геометрический метод (с использованием единичного куба)

  • Рисуем единичный куб (для 6 и более переменных это уже затруднительно)
Единичный куб для двух переменных Единичный куб для трёх переменных Единичный куб для четырёх переменных
Единичный куб для пяти переменных
  • Отмечаем все грани максимальной размерности, во всех точках которых функция равна единице
  • Отмечаем все грани размерности на единицу меньше, во всех точках которых функция равна единице
  • Отмечаем все вершины, в которых функция равна единице

Таким образом, мы наглядно получаем максимальные грани, видим местоположение ядровых точек и т. п.

Разметка куба для функции f = (0110 1111)
Разметка куба для функции f = (0110 1111)
Пример

Построить сокращённую ДНФ для функции f = (0110 1111). С использованием единичного куба.

Решение. Размеченный куб представлен справа. Как видно из иллюстрации, можно выделить следующие максимальные грани:

  • (1 − −) → x1
  • (− 1 0) → x2x3
  • (− 0 1) → x2x3

В реузльтате получим сокращённую ДНФ x1x2x3x2x3

Метод Блейка

Пусть у нас имеется произвольная ДНФ функции f. Определим два преобразования:

  • xA ∨ xB → xA ∨ xB ∨ AB
  • A ∨ AB → A

Тогда, если сначала применять к имеющейся ДНФ первое преобразование, пока это возможно, а потом — второе, то получим сокращённую ДНФ.

Пример

Построить сокращённую ДНФ по имеющейся ДНФ

x1x2x3 ∨ x1x2x3 ={применяем первое правило}= x1x2x3 ∨ x1x2x3 ∨ x1x3 ={применяем второе правило дважды}= x1x3

Метод Нельсона

Метод Нельсона использует КНФ функции f. Для построения сокращённой ДНФ по КНФ достаточно раскрыть скобки и привести подобные методом поглощения (A ∨ AB → A)

Пример

Построить сокращённую ДНФ по имеющейся КНФ f(x1,x2,x3)=(x3x1)(x1 ∨ x2x3)

f = x3x1x3x2x3x3(x1x1)x1x2x1x3 = x3x3x1x3x2x1x3x1x2 = x3x1x2

Метод с использованием карт Карно

Данный метод удобен для функций от 4 переменных (его также можно использовать для функций от 3 переменных, но для них обычно используются другие методы). Он основан на нахождении блоков единиц на построенной специальном образом карте значений функции. Карта строится следующим образом: по вертикали выписываются переменные x1, x2; по горизонатли — x3, x4. Пары переменых выписываются в порядке (00), (01), (11), (10). После чего в таблицу заносятся значения функции для данных значений переменных. Рассмотрим построение карты для функции f = (f0000f0001f0010f0011 f0100f0101f0110f0111 f1000f1001f1010f1011 f1100f1101f1110f1111):

  x3 0 0 1 1
x4 0 1 1 0
x1 x2    
0 0   f0000 f0001 f0011 f0010
0 1   f0100 f0101 f0111 f0110
1 1   f1100 f1101 f1111 f1110
1 0   f1000 f1001 f1011 f1010

Далее на полученной карте находим все максимально возможные блоки единиц вида 2k × 2l; k, l ∈ N, учитывая тот факт, что карта закольцована. Блоки могут пересекаться, но не должны включать друг друга. Далее для каждого блока выписывается вектор, в котором в случае, если переменная в пределах этого блока меняла значение, знак «–», если же не меняет, то её значение в пределах блока. Для позиций вектора i, в которых стоит знак σ ∈ {0, 1}? в ЭК добавляется xiσ. Дизъюнкция всех полученных ЭК и есть сокращённая ДНФ.

Пример

Найдём сокращённую ДНФ для функции f = (1010 0110 0111 1101) методом карт Карно.

Решение
Строим карту:

На основании карты получаем следующие блоки:

  • (0 0 − 0) = x1x2x4
  • (0 − 1 0) = x1x3x4
  • (− 0 1 0) = x2x3x4
  • (− 1 0 1) = x2x3x4
  • (1 1 0 −) = x1x2x3
  • (1 0 1 −) = x1x2x3
  • (1 − − 1) = x1x4

В результате получаем сокращённую ДНФ x1x2x4x1x3x4x2x3x4x2x3x4x1x2x3x1x2x3x1x4


нужно обьединить в прямоугольник единицу (с координатами [1;1]) с единицей ,у которой координаты [4;1] нужно обьединить в прямоугольник единицу (с координатами [4;1]) с единицей ,у которой координаты [4;4] прокомментировал getbraine e-mail v000du@gmail.com

Построение сокращенной ДНФ по совершенной ДНФ при помощи алгоритма Квайна

Алгоритм Квайна построения сокращенной ДНФ по совершенной ДНФ: 0) i:=1 1)Пока возможно к слагаемым ранга n-i+1 применять неполное склеивание:

   xK v (not x)K = xK v (not x)K v K

2)пока возможно поглощение 3) i++; if (i<=n) goto 1

Построение ДНФ Квайна

ДНФ, которую получают путем выбрасывания всех простых импликант, соответствующих максимальным граням, которые покрываются ядром, называется ДНФ Квайна.

Алгоритм построения ДНФ Квайна:

1. получить сокращенную ДНФ;

2. найти ядровые грани;

3. удалить импликанты, покрываемые ядром.

Полученная ДНФ, является ДНФ Квайна.

Построение ДНФ ΣT (суммы тупиковых)

см ниже

Построение всех тупиковых ДНФ

Пусть мы ищем все тупиковые решения для ФАЛ f. Выпишем таблицу M(таблицу Квайна), в которой столбцам соответствуют элементы из Nf (наборы, на которых функция принимает значение 1), строкам соответствуют максимальные грани. В ячейке стоит 1, если грань, соответствующая строке содержит набор, соответствующий столбцу.

Затем выписываем КНФ функции покрытия следующим образом:

Пусть каждой строке соответствует некоторая переменая yi.

Для каждого столбца, переменные, соотвествующие строкам в которых в данном столбце стоит 1, запишем через логическое или. Функция покрытия равна произведению таких сумм для каждого столбца.

Пример

Есть функция g: Ng = {α1 = (100), α2 = (110), α3 = (010), α4 = (011), α5 = (001), α6 = (101) }.

Множество максимальных граней = {N1,…,N6}, где Ni={αii+1}, причем α71.

Таблица Квайна:

Изображение:mKvaina.png

ФАЛ покрытия: F(y) = (y6 ∨ y1)(y1 ∨ y2)(y2 ∨ y3)(y3 ∨ y4)(y4 ∨ y5)(y5 ∨ y6).

Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:

F(y) = y1y3y5 ∨ y2y4y6 ∨ y1y2y4y5 ∨ y2y3y5y6 ∨ y1y3y4y5.

Это соответствет тупиковым покрытиям 1 = N1N3N5; 2 = N2N4N6; и т.д.

Пример

Построить все тупиковые ДНФ для ФАЛ f = (1010 0110 0111 1101).

Решение.

Сокращённая ДНФ для данной функции есть x1x2x4x1x3x4x2x3x4x2x3x4x1x2x3x1x2x3x1x4 (как было получено ранее). Выпишем все точки, где ЭК принимают значение, равное единице, следующим образом:

ЭК x1x2x4 x1x3x4 x2x3x4 x2x3x4 x1x2x3 x1x2x3 x1x4
αi α1 = (0000)
α2 = (0010)
  α2 = (0010)
α3 = (0110)
  α2 = (0010)
α4 = (1010)
  α5 = (0101)
α6 = (1101)
  α7 = (1100)
α6 = (1101)
  α4 = (1010)
α8 = (1011)
  α9 = (1001)
α8 = (1011)
α6 = (1101)
α10 = (1111)

Построим таблицу (таблицу Квайна), у которой по строкам указаны ЭК, а по столбцам — точки, где функция принимает значение, равное единице. На пересечении ЭК и точки будет стоять значение ЭК в этой точке (фактически, входит ли данная точка в характеристическое множество данной ЭК, или нет). Для наглядности, единицы выделены.

  α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10
K1 = x1x2x4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
K2 = x1x3x4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
K3 = x2x3x4 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
K4 = x2x3x4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
K5 = x1x2x3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
K6 = x1x2x3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
K7 = x1x4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1

Далее, определим ядровые точки, то есть те αi, у которых в столбце только одна единица. Таковыми являются α1, α3, α5, α7, α9, α10. Соответственно, ядровыми гранями являются те грани, которые соответствуют конъюнкциям, которым принадлежат ядровые вершины (смотрим на строки, в которых хотя бы для одного из выбранных столбцов αi стоит единица), то есть K1, K2, K4, K5, K7. Дизъюнкция этих конъюнкций есть пересечение тупиковых.

Для нахождения всех тупиковых ДНФ построим КНФ, элементарныё дизъюнкции которой будут состоять из БП, соответствующих тем конъюнкциям, в которые входит рассматриваемая точка αi (то есть, всего дизъюнкций столько же, сколько есть точек, где фугкция принимает единичное значение, причём первая дизъюнкция будет содержать те БП, которые соответствуют тем ЭК, которым принадлежит α1 (в данном примере это K1), вторая — те, которые соответствуют ЭК, которым принадлежит α2 (K1, K2, K3), и так далее):

K1 & (K1 ∨ K2 ∨ K3) & K2 & (K3 ∨ K6) & K4 & (K4 ∨ K5 ∨ K7) & K5 & (K6 ∨ K7) & K7 & K7

После раскрытия и приведения подобных получим ДНФ, состоящих из ЭК, которые будут соответствовать тупиковым ДНФ, причём БП в ЭК будут соответствовать ЭК, входящим в тупиковую ДНФ:

K1 & (K1 ∨ K2 ∨ K3) & K2 & (K3 ∨ K6) & K4 & (K4 ∨ K5 ∨ K7) & K5 & (K6 ∨ K7) & K7 & K7 = K1K2K4K5K7 & (K1 ∨ K2 ∨ K3) & (K3 ∨ K6) & (K4 ∨ K5 ∨ K7) & (K6 ∨ K7) = K1K2K4K5K3K7 ∨ K1K2K4K5K6K7

ДНФ K1K2K3K4K5K7 ∨ K1K2K4K5K6K7 соответствует тупиковым ДНФ

K1 ∨ K2 ∨ K3 ∨ K4 ∨ K5 ∨ K7 x1x2x4x1x3x4x2x3x4x2x3x4x1x2x3x1x4
K1 ∨ K2 ∨ K4 ∨ K5 ∨ K6 ∨ K7 x1x2x4x1x3x4x2x3x4x1x2x3x1x2x3x1x4


Основы Кибернетики


01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16


Календарь

пт пт пт пт пт
Февраль
09 16 26
Март
02 09 16 23 30
Апрель
06 13 20 27
Май
04 11 18 25

Материалы к экзамену

Экзаменационные вопросы 3 потока 2007 (new!) | Алгоритмы решения задач | Теормин | Определения

Личные инструменты
Разделы