| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 16 лекция (от 09 апреля)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | === Пункт 3. Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсена) ===
| + | |
| - | | + | |
| - | δ<sup>2</sup>u/δx<sup>2</sup> + f(x, t) (1)
| + | |
| - | * u(0, t) = μ<sub>1</sub>(t); u(1, t) = μ<sub>2</sub>(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
| + | |
| - | * u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)
| + | |
| - | * y<sub>x_x, i</sub><sup>m</sup> = (y<sub>i + 1</sub><sup>m</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>m</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>m</sup>)
| + | |
| - | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = 0,5(y<sub>x_x, i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>x_x, i</sub><sup>n</sup>) + f(x<sub>i</sub>, t<sub>т + 1/2</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) ∈ ω<sub>τh</sub> (4)
| + | |
| - | * y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> ∈ ω_<sub>τ</sub> (5)
| + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub> (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | Шаблон (типа ящик)
| + | |
| - | | + | |
| - | Эта схема неявная. Решается она так же, как и чисто неявная схема — методом прогонки.
| + | |
| - | | + | |
| - | Сходимость будем рассматривать среднеквадратичную, а не в С, ибо в С очень сложно. Будем использовать новый аппарат. Ради чего напрягаться? Оказывается, эта схема имеет второй порядок и по тау, и по h, то есть лучше. Сегодня освоим аппарат Фурье метода оценок, и его тоже можно здесь применить. Можно строить функцию Грина, можно энергетическими неравенствами. Способов очень много методов оценок.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Погрешность ====
| + | |
| - | z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | * (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = 0,5(z<sub>x_x, i</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>x_x, i</sub><sup>n</sup>) + ψ<sub>i</sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Здесь принципиально, как брать, и это принципиально, иначе не получим второй порядок.
| + | |
| - | | + | |
| - | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0
| + | |
| - | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>x_x</sub><sup>n + 1</sup> + u<sub>x_x</sub><sup>n</sup>) + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1/2</sub>) − (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ (8)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Доказать, что ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>).
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Задача Штурма-Лиувилля ====
| + | |
| - | | + | |
| - | * δ<sup>2</sup>u/δx<sup>2</sup> + λu(x) = 0, 0 < x < 1 (9)
| + | |
| - | * u(0) = u(1) = 0, u(x) !== 0
| + | |
| - | * λ — собственное значение, u(x) — собственная функция
| + | |
| - | * &lambda<sub>k</sub> = (πk)<sup>2</sup>, k = 1, 2, …
| + | |
| - | * 0 < &lambda<sub>1</sub> < λ<sub>2</sub> < λ<sub>k</sub> < …
| + | |
| - | * u<sub>k</sub>(x) = sqrt(2)sin πkx
| + | |
| - | * {u<sub>k</sub>(x)}<sub>1</sub><sup>∞</sup> — ортонормированный базис
| + | |
| - | * f(x) ∈ L<sub>2</sub>(0, 1)
| + | |
| - | * интеграл от 0 до 1 f<sup>2</sup>(x) dx < infin;,
| + | |
| - | ... | + | |
| - | | + | |
| - | ||f||<sub>L<sub>2</sub></sub><sup>2</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>∞</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> — уравнение Парсеваля
| + | |
| - | Разностная задача Штурма-Лиувилля
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |rowspan="2"|{
| + | |
| - | |y<sub>x_x, i</sub> + λy<sub>i</sub> = 0, x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub>
| + | |
| - | |rowspan="2"|(10)
| + | |
| - | |--
| + | |
| - | |y<sub>0</sub> = y<sub>N</sub> = 0
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | | + | |
| - | * y<sub>i + 1</sub> − 2y<sub>i</sub> + y<sub>0i − 1</sub> + λh<sup>2</sup>y<sub>i</sub> = 0
| + | |
| - | * y<sub>i + 1</sub> + y<sub>i − 1</sub> − (2 − λh<sup>2</sup>)y<sub>i</sub> = 0
| + | |
| - | * y<sub>i</sub> = sin αx<sub>i</sub> ≠ 0
| + | |
| - | * y<sub>i + 1</sub> = sin α(x<sub>i</sub> + h) ≠ 0
| + | |
| - | * y<sub>i − 1</sub> = sin α(x<sub>i</sub> − h) ≠ 0
| + | |
| - | * y<sub>i + 1</sub> + y<sub>i − 1</sub> = sin (αx<sub>i</sub> + αh) + sin (αx<sub>i</sub> − αh) = 2sin αx<sub>i</sub> cos αx
| + | |
| - | * 2cos αh sin αx<sub>i</sub> − (2 − λh<sup>2</sup>)y<sub>i</sub> = 0
| + | |
| - | * 2cos αh − 2 + λh<sup>2</sup> = 0
| + | |
| - | * λ = 2(1 − cos αh)/h<sup>2</sup> = 4/h<sup>2</sup>sin(αh/2)
| + | |
| - | * λ<sub>k</sub> = 4/h<sup>2</sup> sin<sup>2</sup> πkh/2, k = 1…N − 1
| + | |
| - | * y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>) = sqrt(2) πkx<sub>i</sub>, x<sub>i</sub> ∈ ω<sub>h</sub>, k = 1…N − 1
| + | |
| - | | + | |
| - | равенство Парсеваля:
| + | |
| - | dim H<sub>N − 1</sub> = N − 1, y<sub>0</sub> = y<sub>n</sub> = 0
| + | |
| - | | + | |
| - | f, g ∈ H<sub>N − 1</sub>, (f, g) = &sum ;<sub>i = 1</sub><sup>N − 1</sup> f<sub>i</sub>g<sub>i</sub>h
| + | |
| - | * ||f||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> = ||f||<sub>L<sub>2</sub></sub> = (f, f)<sup>1/2</sup> = ∑<sub>i = 1</sub><sup>N − 1</sup>f<sub>i</sub><sup>2</sup>h
| + | |
| - | | + | |
| - | * (y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>) y<sub>l</sub>(x<sub>i</sub>)) = δ<sub>k, l</sub>
| + | |
| - | * f(x<sub>i</sub>) = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> c<sub>k</sub>y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | | + | |
| - | Тождественно обозначим: y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>0 = μ<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | | + | |
| - | * ||z<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> → 0, &tau, h → r
| + | |
| - | * z<sub>i</sub><sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> (c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) − c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))/τ × μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) = 0,5 ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))μ<sub>x_x, i</sub><sup>k</sup> + ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> ((c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) − c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))/τ + 0,5λ<sub>k</sub>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)))μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup> ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * (c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) − c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))/τ + 0,5λ<sub>k</sub>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)) = ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)
| + | |
| - | * c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) − c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) + 0,5τλ<sub>k</sub>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)) = τψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)
| + | |
| - | * (1 + 0,5τλ)c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) &minus (1 − 0,5τλ)c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) = τψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)
| + | |
| - | * c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) = (1 − 0,5τλ)/(1 + 0,5τλ) × c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) + τ/(1 + 0,5τλ)ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)
| + | |
| - | * q<sub>k</sub> = (1 − 0,5τλ)/(1 + 0,5τλ)
| + | |
| - | * |q<sub>k</sub>| < 1
| + | |
| - | * z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>(q<sub>k</sub>c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) + τ/(1 + 0,5τλ)ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>))μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>q<sub>k</sub>c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) + ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>τ/(1 + 0,5τλ)ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * v<sub>i</sub><sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>q<sub>k</sub>c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * ω<sub>i</sub><sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>τ/(1 + 0,5τλ)ψ<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)μ<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = v<sub>i</sub><sup>n</sup> + ω<sub>i</sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> = ||v<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> + ||ω<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub>
| + | |
| - | * ||v<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>q<sub>k</sub><sup>2</sup>c<sub>k</sub><sup>2</sup>(t<sub>n</sub>) ≤ ∑<sub>k = 1</sub><sup>N − 1</sup>c<sub>k</sub><sup>2</sup>(t<sub>n</sub>) = ||z<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub>
| + | |
| - | * ||ω<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ τ<sup>2</sup>||ψ<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub>
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | Получили ту же самую формулу, что и в прошлый раз, следовательно, её можно сделать рекуррентной.
| + | |
| - | | + | |
| - | Мы не использовали связь шагов, поэтому сходимость абсолютная.
| + | |
| - | | + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ ||z<sup>0</sup>|| { = 0 } + ∑<sub>j = 0</sub><sup>n</sup> τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub>
| + | |
| - | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)
| + | |
| - | * ∃ M ≥ 0 не зависит от τ и h
| + | |
| - | * ||ψ<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ M(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ M(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)∑<sub>j = 0</sub><sup>n</sup> τ = Mt<sub>n</sub>(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>) ≤ MT(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ M<sub>1</sub>(τ<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>), M<sub>1</sub> не зависит от τ и h
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Оценка устойчивости ====
| + | |
| - | Если бы мы рассматривал нашу оценку и при нулевых краевых условиях, то мы бы получили совершенно аналогично:
| + | |
| - | * ||y<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> ≤ ||u<sub>0</sub>||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> + ∑<sub>j = 0</sub><sup>n</sup> τ||f(t)||<sub>L<sub>2</sub>(ω<sub>n</sub>)</sub> — априорная оценка, означающая устойчивость
| + | |
| - | | + | |
| - | Симметричная схема обладает более высоким порядком точности, но мы её доказали пока только для среднеквадратичной схемы.
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
| - | {{Lection-stub}}
| + | |
