История математики, 03 лекция (от 18 сентября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

• Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_09_18.ogg

[править] Влияние вычислительной техники на развитие математики

Даже классическая математика претерпела изменения. Целая куча даже старых задач, задачи геодезии, где надо было составлять большие системы, задачи прогноза погоды. Приходилось придумывать новые методы. То же --- решение больших систем дифференциальных уравнений. То же задачи регуляризации, поскольку точно задачи, особенно обратные, решать нельзя, необходимо получать приближённые решения.

Лектор рассказал о математике Древней Греции, рассказал о пифагорейской математике. Кроме того, это первый в истории кризис в математике, нахождение несоизмеримых отрезков. Поэтому пифагорейцы поняли, что множество отрезков более полно, чем множество целых чисел. Пифагорейцы поняли это не сразу, и для них это было шоком.

В это же время возникло много математических проблем, влияние которых чувствовалось на протяжении тысячелетий. Задача о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга.

Об удвоении куба. На одном острове не было дождя, и жрец сказал, что нужен жертвенный куб, в два раза больший, чем имеющийся. И эту задачу решить не смогли. Тогда решали всё циркулем и линейкой, фактически, необходимо было корнями второй степени построить 2^(1/3). Первым высказал невозможность этого Рене Декарт, но доказательство этого принадлежит ... в 1837. По существу, это сводилось к решению уравнения cos φ = 4 cos^3 φ/3 - 3cos φ/3

Квадратура круга. Надо построить квадрат, равновеликий кругу x= sqrt(p).

Трисекция угла. Из теоремы Ванцеля следует, что её тоже решить нельзя, и, фактически, это та же задача.

Но греки, схитрив, таки делили угол на три.

Нарисовать угол, Из центра нарисовать полукруг. Взять линейку и сделать засечки расстояния с радиусом. И будет ездить прямой, пока внешность не станет равна r.

Но это не честное построение, поскольку тут есть движение.

Что ещё строили древние: построение квадрата, равновеликого прямоугольнику. Фактически, небходимо найти sqrt(a,b). Для этого рисовали отрезки a, b, и строили окружность как на диаметре, и если постр. тр, переп точке сопр, т будет sqrt(ab)

Отсюда же следует, что (a+b)/2 ≥ sqrt(ab)

Это не единственный способ доказательства, но этот один из простых.

Достаточно изобретательные способы использовали древние .

Отрицательные числа. Довольно долго их не принимали.

Это то, что касается пифагорейской школы.

К этому периоду относятся и апории Зенона.

Откуда они появились? Хотелось получить конечное число из бесконечного количества бесконечно малых величин.

Апории: ахиллес и черепаха, дихотомия.

Философы думали над этим годами.

Ньютон определял бесконечно малую величину как ... .

Ньютон пользовался флюксиями (производными), но сами работы, связанные с её свойствами не публиковал, поскольку считал их неточными.

Аналогично поступал и Эйлер.

Вспомним про философов. Демокрит (460-370 до н.э.). Тогда все были философы. Чем он занимался? Математика, физика, биология, ... Нас интересуют его математические представления, математические воззрения.

Соль его математических представлений в атомистическом представлении.

Он считал, что все величины состоят из элементов меньшей размерности, из атомов.

Метод исчерпывания. При необходимости вычисления площади фигуры в неё вписываются фигуры, площадь которых известна, и которые аппроксимируют её всё лучше. И потом получающуюся площадь принимают за площадь фигуры.

Платон (424-347 до н.э.). Над входом в Академию (деревушка под Афинами с таким названием) висела надпись "не знающий геометрию да не войдёт сюда"

Что такое познание у Платона? Это понимание того, что ты видел в потустороннем мире ещё до своего рождения.

Аристотель (384-322 до н.э.). Его философия господствовала в мире на протяжении 2 тысяч лет. Трудно сказать, что он математик, но некоторые моменты у него были.

Именно ему принадлежат понятия аналогии, индукции, дедукции.

Любое движение состоит из прямолинейного и по кругу. Это господствовало достаточно долго.

Аристотель уделял много внимания понятию бесконечности. Он обсуждал и платоновскую философию, и пифагорейскую.

Евклид (около 300 до н.э.). Жил и работал в Александрии. Там и Аполоний, и Пифагор, и Эратосфен работали. Там был построен научный центр. Дело в том, что созрела необходимость в системе математики. Со своими обоснованиями, со своей системой логических выводов и доказательств. Такую систему называли начала. И евклидовы начала не первые. Первые были Гиппократа Хиосского, но они до нас не дошли.

Гиппократ Хиосский. Он начал изучать квадрируемые луночки. Утверждал, что площадь лунок равна площади треугольника. Это было сделано за 500 лет до н.э., квадрирование кривых. Лишь в начале 20-го века было доказано, что таких лунок очень мало, 5 типов.

Евклид. Начала. 12 книг. Способы изложения были чрезвычайно громоздкие. Все доказательства были очень громоздкие и сложные. Ещё Пифагор говорил, что заниматься числами было уделом избранных.

Первая книга содержала определения, аксиомы и постулаты. Что такое определение во времена Евклида? Это представления о понятия, господствовавшие в тот период. Например, точка --- то, что не имеет частей. Линия --- длина без ширины. Куб --- телесная фигура, заключенная между 6 равными квадратами.

В никаких других последующих книгах аксиом и постулатов нет.

Сейчас говорят, что аксиомы и постулаты есть одно и то же. У Евклида это не совсем так. У Евклида аксиомы --- предложения о равенстве и неравенстве.

Аксиомы: 4. Совмещение равно между собой 5. Часть меньше целого

Постулаты:

2. Отрезк прямой можно продолжать неограниченно
3. Из всякой точки можно провести прямую
4. Все прямые углы равны
5. Если две прямые, проведённые в одной плоскости, пересечь третьей прямой, и сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то эти прямые пересекаются там, где имеет место.

По существу, эта аксиоматика так и сохранилась. Много было попыток её изменить. Серьёзное усовершенствование связно разве что с именем ...

То, что 5 постулат есть постулат, а не теорема, надо быть Евклидом, чтобы до этого додуматься. На протяжении последующих 2 тысяч лет многим казалось, что это можно доказать.

Если ...

Это первая книга Евклида. В первой книге даются основные действия над геометрическими примитивами и доказательство теоремы Пифагора.

Метод доказательства таков, что из заведомо верного утверждения логическим путём получается и разбирается с помощью чётких построений, выводится новое утверждение.

Метод доказательства такой: формализуется доказательство или утверждение, делается чертёж, доказательство по чертежу, дополнительные построения, если необходимо, и так далее.

Тот метод, который использовал Евклид, называется синтезом.

Вся система геометрической алгебры излагается во второй книге. Способы операций с отрезками, площадями, объёмами.

Третье. Свойства вписанных и описанных углов.

Четвёртое. Построение 3, 4, 5, 6 и 15 угольников правильных.

Гаусс гордился тем, что нарисовал 17-угольник в круге, и это увековечено на его могиле.

У Пифагора на могиле шар, вписанный в цилиндр.

Пятая книга. Общая теория отношений.

Шестая. ... и теорема Фалеса

Подобие фигур. Решение уравнения ax + b/c x^2 = s

7-9 книги. Рациональные числа. Излагается алгоритм Евклида о нахождении НОД. Основные теоремы делимости. Теорема о совершенных числах.

10. Изучение и классификация. 25 видов квадратичных иррациональностей (sqrt(sqrt(a)+b)). Там же даётся лемма исчерпывания. Там даётся способ нахождения пифагоровых чисел.

11. Стереометрия.

12. Соотношение объёмов параллелепипедов, конусов, призм.... . Построение правильных многогранников. И доказывется, что других нет.

Первое в истории чёткое построение математики.

Особенности: исключительно геометрические, чр-ва --- циркуль и линейка. Поэтому нет теории конических сечений, нет алгебры, трансцендентных кривых. Нет алгебраических методов.

Дальнейшее развитие привело к геометрии Лобачевского и так далее.

Архимед. Сын астронома Фидия.

В прошлый раз обсуждали проблему чистой математики. Во-первых, облегчил труд путём создания рычагов. На протяжении двух лет динр по существу оборонял Сиракузы от римского воинства.

Что касается математики? Он видел то, чего не видели многие. Например, площадь правильного треугольника равновелика чему?

Что мог важное --- он умел вычислять площади и объёмы фигур. Вписывать и описывать циллиндры.

Дал очень хорошее представление для пи --- 3 1/7 и 3 10/71.

Научным соперником Архимеда был Апполоний. Его математика дост. это конические сечения. У него было 8 книг о конических сечениях, где он исследовал 387 теорем о разного род вещах, связанных с коническими сечениями. Каждое коническое сечение он рассматривал заново, у него не было общей теории. Это характерно для старой математики вообще.

Герон. Мы знаем его по формуле Герона, формуле вычисления площади треугольника.

Он занимался прикладной математикой. Умел вычислять квадратные и кубические корни. Умел решать квадратные уравнения. Умел вычислять площади и объёмы фигур, умел делать очень многие прикладные вещи. У него есть астрономические таблицы. Занимался проблемами оптики, сделал метательные машины. Удивил своих современников: двери в храм при восходе солнца открывались.

Диофант (3 в нэ). Нашёл рациональные решения 189 неопределённых уравнений. Неопределённость --- когда количество неизвестных больше количества уравнений. У него были специальные обозначения для степеней. Давал способ получения троек пифагоровых чисел. В общем виде дифференциальные уравнения ... исследовались в 19 веке.